184. Я хочу вспомнить мелодию, но она ускользает; внезапно я говорю: «Теперь я вспомнил» и начинаю напевать. Откуда взялось внезапное знание? Безусловно, оно не могло открыться мне во всей полноте в этот миг. – Возможно, ты скажешь: «Это особое ощущение, как если бы она была тут», но тут ли она? Предположим, я начал напевать и запнулся? – Но разве я не был уверен в тот миг, что знаю ее? Значит, в том или ином смысле она была тут, в конце концов! – Но в каком смысле? Ты сказал бы, что мелодия была тут, если бы, скажем, кто-то пропел ее или услышал мысленно, от начала до конца. Я, конечно, не отрицаю, что утверждению, будто мелодия тут, можно придать совершенно отличное значение – например, что у меня есть лист бумаги, на котором она записана. – И в чем состоит «уверенность», знание? – Разумеется, можно сказать: если кто-то говорит убежденно, что теперь знает мелодию, тогда она (так или иначе) присутствует в его сознании во всей полноте в этот миг, – и таково определение выражения «мелодия присутствует в его сознании во всей полноте».
185. Вернемся к нашему примеру (143). Теперь – исходя из обычных критериев – ученик овладел рядом натуральных чисел. Далее мы учим его записывать другую последовательность количественных числительных и подводим к записи рядов формы
0, n, 2n, 3n, и т. д.
в порядке «+n»; так что в порядке «+1» он записывает ряд натуральных чисел. – Допустим, что упражнения и контрольные работы имеют пределом 1000.
Теперь мы предлагаем ученику продолжить ряд (скажем, +2) за 1000 – и он пишет: 1000, 1004, 1008, 1012.
Мы говорим: «Смотри, что ты сделал!» – Он не понимает. Мы говорим: «Тебе следовало прибавлять по два: посмотри, как начинается ряд!» – Он отвечает: «Да, но разве это неправильно? Я думал, что следует считать именно так». – Или предположим, что он указывает на ряд и говорит: «Но я продолжал схожим образом». – Теперь бесполезно спрашивать: Разве ты не видишь?..» – и повторять старые примеры и объяснения. – В таком случае мы могли бы сказать: для этого человека естественно понимать наше задание с нашими объяснениями, как мы сами его понимаем: «Прибавь 2 до 1000, 4 до 2000, 6 до 3000 и так далее».
Подобный случай выказал бы сходство с тем, когда человек естественным образом реагирует на указание рукой, глядя в направлении линии от кончика пальца до запястья, а не от запястья до кончика пальца.
186. «Значит, то, что ты говоришь, сводится к следующему: новое проникновение в суть – интуиция – необходима на каждом шаге, чтобы выполнить задание “+n” верно». – Чтобы выполнить его верно! Откуда нам знать, каков правильный шаг на каждом конкретном этапе решения? – «Правильный шаг тот, который согласуется с заданием, как оно было сформулировано». – Значит, давая задание «+2», ты подразумевал, что ученик должен записать 1002 после 1000 – и также подразумевал, что он должен записать 1868 после 1866, и 100 036 после 100 034, и так далее – бесконечное число подобных суждений? – «Нет; я подразумевал, что он должен записывать после каждого числа следующее через одно число; и из этого вытекают все упомянутые суждения, в свою очередь». – Но ведь именно и выясняется, что, на любом этапе, следует из данного предложения. Или, снова: что, на любом этапе, мы можем называть «соответствием» данному предложению (и тому значению, которым вы его наделяете – в чем бы это значение ни состояло). Вряд ли было бы правильнее сказать не то, что интуиция необходима на каждом этапе, но что новое решение требуется на каждом этапе.
187. «Но я уже знал, в то время, когда давал задание, что он должен написать 1002 после 1000». – Конечно; ты также можешь сказать, что подразумевал это; но не позволяй сбить себя с толку грамматике слов «знать» и «подразумевать». Ведь ты не хочешь сказать, будто думал о переходе от 1000 к 1002 – и даже если ты и вправду думал об этом переходе, то наверняка не помышлял о других. Когда ты говоришь: «Я уже знал в то время», это означает что-то наподобие: «Если бы меня тогда спросили, как надлежит записывать числа, то после 1000 я бы назвал 1002». И в этом я не сомневаюсь. Это допущение того же рода, что и: «Если бы он упал в воду, я бы прыгнул за ним». – И в чем же твоя ошибка?
188. Тут я прежде всего сказал бы: твоя идея в том, что акт подразумевания задания уже каким-то образом осуществил все шаги; что ты осмыслил задание, как если бы сознание унеслось вперед и проделало все действия до того, как ты совершил их физически.
И потому ты склонен употреблять такие выражения, как: «Шаги в самом деле уже предприняты, даже ранее, чем я их записал, произнес или помыслил». И кажется, что они в некоем особом отношении предопределены, ожидаемы – как один лишь акт подразумевания способен предвосхищать реальность.
189. «Но разве шаги тогда не определяются алгебраической формулой?» – Вопрос содержит ошибку.
Мы используем выражение: «Шаги определены формулой…» Как оно употребляется? – Мы можем, например, вспомнить тот факт, что люди образованием (тренировкой) приучаются так использовать формулу «y = x²», что все получают одинаковое значение y, когда подставляют сходное значение для x. Или можно сказать: «Эти люди обучены так, что все выполняют конкретное действие в нужный миг, когда получают задание “прибавить 3”». Мы могли бы выразить это, сказав: «Для этих людей задание “прибавить 3” полностью определяет каждый шаг от одного числа к следующему». (В отличие от других, которые не знают, что им надлежит сделать при получении такого задания, или реагируют на него вполне уверенно, но каждый по-своему.)
С другой стороны, мы можем противопоставить различные виды формулы и различные виды ее употребления (различные виды обучения), им соответствующие. Тогда мы назовем формулы особого вида (с соответствующими способами употребления) «формулами, которые определяют число у для заданного значения x», а формулы другого вида – теми, которые «не определяют число у для заданного значения x». (y = x² относится к первому виду, y ≠ x² – ко второму.) Суждение «Формула… определяет число y» тогда будет утверждением о типе формулы, – и теперь мы должны отличать суждение «Формула, которую я записал, определяет y», или «Вот формула, которая определяет y», от суждений следующего вида: «Формула y = х² определяет число у для заданного значения x». Вопрос: «Эта записанная формула определяет y?» будет тогда означать то же самое, что и: «Какого типа эта формула?» – но не ясно, что делать с вопросом: «Является ли y = x² формулой, которая определяет y для заданного значения x?» Можно было бы задать этот вопрос ученику, чтобы проверить, понимает ли он употребление слова «определять»; или это могло бы быть математическое задание – доказать в особой системе, что x имеет всего один квадрат.
190. Теперь можно сказать: «Способ, каким осмысляется формула, определяет, какие шаги следует предпринять». И каков критерий выявления способов осмысления формулы? Это, например, способ постоянного употребления, способ, каким нас научили ее употреблять. Мы говорим, к примеру, тому, кто употребляет знак, нам неизвестный: «Если под «x!2» ты подразумеваешь x², тогда ты получишь такое значение у; а если ты имеешь в виду 2x, тогда другое». – Теперь спроси себя: как можно подразумевать одно или другое под х!2?
