Если нам повезет и мы будем достаточно умелыми – то есть правильно преобразуем уравнения, – то можем получить скрытые доселе следствия. Математику этот процесс кажется почти осязаемым. Словно мы манипулируем уравнениями, массируем их, пытаясь расслабить до такой степени, чтобы они выдали свои секреты. Мы хотим, чтобы они открылись и поговорили с нами.
Здесь требуется творческий подход, потому что часто неясно, какие манипуляции выполнять. У Максвелла было бесчисленное количество способов преобразовать его уравнения; с логической точки зрения приемлемы были все, но новый интересный научный результат давали лишь некоторые. Учитывая то, что он даже не знал, что ищет, он мог легко получить от уравнений всего лишь бессвязное бормотание (или его символьный эквивалент). К счастью, уравнения раскрыли свои секреты.
В результате правильного подхода волновое уравнение не осталось абстракцией. В этот момент лингвистическая функция матанализа снова взяла верх. Когда Максвелл перевел абстрактные символы обратно в реальность, они предсказали, что электричество и магнетизм взаимодействуют, создавая электромагнитные волны, распространяющиеся со скоростью света. Через несколько десятилетий это открытие изменило мир.
Непостижимо эффективно
Тот факт, что анализ может так хорошо моделировать природу, даже несколько пугает, учитывая, насколько различны эти две сферы. Анализ – воображаемое царство символов и логики; природа – реальное царство сил и явлений. Но каким-то образом, если переводить реальность в символы достаточно искусно, с помощью логики анализа можно использовать одну истину реального мира для порождения другой. Истина на входе, истина на выходе
[14]. Начните с чего-то эмпирически истинного и выраженого в символах (как Максвелл с законами электричества и магнетизма), примените верные логические действия, и получится другая эмпирическая истина, возможно, новая – какой-то ранее неизвестный факт о Вселенной (подобно существованию электромагнитных волн). Таким образом анализ позволяет нам заглядывать в будущее и предсказывать неизвестное. Именно это делает его столь мощным инструментом для науки и технологий.
Но почему же Вселенная должна уважать хоть какую-нибудь логику, не говоря уже о той, которую можем использовать мы, ничтожные люди? Именно этому удивлялся Эйнштейн, когда писал: «Вечная тайна мира заключается в его постижимости»
[15]. Именно это имел в виду американский физик Юджин Вигнер в своем эссе «Непостижимая эффективность математики в естественных науках»
[16], когда писал: «Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов, это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем»
[17].
Это чувство благоговения восходит к истории математики. По легенде, Пифагор
[18] ощутил его примерно в 550 году до нашей эры, когда вместе с учениками обнаружил, что музыка регулируется отношениями целых чисел. Например, представьте, что вы защипнули гитарную струну. Когда струна вибрирует, она издает определенную ноту. Поставьте палец левой руки точно на половине длины струны и снова защипните ее. Теперь колеблющаяся часть струны вдвое короче (отношение 1 к 2), и струна звучит ровно на октаву выше, чем исходная нота (это расстояние от одной ноты «до» до следующей «до» в интервале до-ре-ми-фа-соль-ля-си-до). Если сократить струну на 2/3 исходной длины, то она будет звучать на квинту выше (интервал от «до» до «соль»; вспомните первые две ноты из темы «Звездных войн»). Если же вибрирующая часть составляет 3/4 исходной длины, то звук выше на кварту (интервал между первыми двумя нотами свадебного марша «Вот идет невеста»
[19]). Древнегреческие музыканты знали о таких музыкальных интервалах, как октава, кварта и квинта, и считали их красивыми. Столь неожиданная связь между музыкой (гармонией реального мира) и числами (гармонией воображаемого мира) привела пифагорейцев
[20] к мистической вере в то, что всё есть число. Считается, что они даже верили в то, что планеты на своих орбитах издают музыку – музыку сфер.
С тех пор многие из величайших математиков и других ученых заболели пифагорейской лихорадкой. Страдал ею астроном Иоганн Кеплер. И физик Поль Дирак. Это побуждало их мечтать, искать и стремиться к гармонии Вселенной и в конце концов привело к открытиям, которые изменили мир.
Принцип бесконечности
Чтобы помочь вам понять, куда мы движемся, позвольте мне сказать несколько слов о том, что такое анализ, чего он (образно говоря) хочет и чем отличается от других областей математики. К счастью, всю эту тему пронизывает одна значимая красивая идея. Как только мы ее осознаем, вся конструкция анализа сложится в единую картину, превратившись в вариации на одну общую тему.
Увы, большинство курсов анализа хоронят эту тему под лавиной формул, процедур и вычислительных ухищрений. Если подумать, то я никогда не сталкивался с тем, чтобы кто-то ее подробно объяснял, хотя это часть культуры анализа и каждому специалисту она, естественно, известна. Давайте назовем это «принципом бесконечности». Он будет направлять нас в нашем путешествии точно так же, как направлял развитие самого анализа – и концептуально, и исторически. Я испытываю искушение сформулировать его прямо сейчас, хотя пока это будет звучать как тарабарщина. Вам будет проще это оценить, если мы станем продвигаться медленно, спрашивая, чего хочет анализ… и как он получает то, что хочет.
Если коротко, то анализ хочет сделать сложные задачи проще. Он буквально одержим простотой. Это может показаться вам абсурдным, учитывая, что у анализа репутация сложного метода и что некоторые лучшие учебники по нему превышают тысячу страниц и весят, как кирпич. Но давайте не будем выносить резких суждений. Анализ ничего не может поделать с тем, как выглядит, и громоздкости ему не избежать. Он кажется сложным, потому что старается решать сложные задачи. И он действительно решил ряд самых трудных и важных задач, с которыми когда-либо сталкивался наш вид.
