Не кажутся ли вам эти числа знакомыми? Надеюсь, что да! Ведь это и есть два возможных решения задачи о трех кувшинах.
Для того чтобы не запутаться, обозначим 5-литровый кувшин буквой A, а 3-литровый буквой Б.
Сначала оба кувшина пусты.
Наполним кувшин А. Состояние кувшинов такое: А = 5 литров, Б = 0 литров. Запишите это значение как (5; 0).
Теперь перелейте жидкость из кувшина А в кувшин Б. В кувшине А остается 2 литра, а кувшин Б полон, то есть в нем 3 литра. Кувшины находятся в точке (2; 3).
Вылейте жидкость из кувшина Б в третий кувшин. Теперь кувшины в точке (2; 0).
Перелейте жидкость из кувшина А в кувшин Б: (0; 2).
Снова наполните кувшин А: (5; 2)
Перелейте жидкость из кувшина А в кувшин Б: (4; 3).
Все: в кувшине А 4 литра, а значит, задача решена.
Объем жидкости в кувшинах А и Б в точности соответствует координатам точек, в которых шар отскакивает от стенок бильярдного стола после удара из точки (5; 0).
Если бы при поиске решения головоломки мы сначала наполнили кувшин Б, то объем жидкости в кувшинах А и Б можно было бы описать координатами точек, в которых шар отскакивает от стенок бильярдного стола после удара из позиции (0; 3).
Метод решения задач с кувшинами посредством шаров открыл британский статистик Морис Твиди в 1939 году, когда ему было двадцать лет. Каждый раз, когда шар отскакивает от стенок ромбовидного стола, траектория его движения приводит вас к следующему действию.
Если вам когда-либо понадобится вылить определенное количество жидкости из полной посуды в две пустые емкости поменьше без мерной шкалы, объем которых равен х и y, все, что вам нужно будет сделать, – это построить ромбовидный бильярдный стол со сторонами х и y и катать по нему шары.
Господа Уиллис и Джексон, если вы читаете эти строки, примите мои слова к сведению.
55. ДВА ВЕДРА
Вы стоите у ручья с двумя ведрами вместимостью семь и пять галлонов. Как набрать шесть галлонов воды за минимальное количество переливаний?
Идея переливания жидкости из одного сосуда в другой лежит в основе ряда других занимательных головоломок.
56. КОФЕ С МОЛОКОМ
В термосе у вас кофе, в чашке – молоко. Вы налили некоторое количество кофе в чашку с молоком, а затем перелили немного напитка назад в термос так, чтобы уровень жидкости в обеих емкостях был таким же, как изначально.
Чего больше – кофе в чашке или молока в термосе?
Эта задача вам на завтрак, а следующая предназначена для более позднего времени дня.
57. ВОДА И ВИНО
У вас есть пинта воды в одном кувшине и пинта вина в другом. Вылейте полпинты воды в вино и перемешайте. В кувшине с вином теперь пинта вина и полпинты воды. Вылейте полпинты разбавленного вина в кувшин с водой так, чтобы в каждом кувшине оказалось по одной пинте жидкости. Перемешайте. Продолжайте переливать по полпинты из одного кувшина в другой.
После скольких переливаний в двух кувшинах будет одинаковое содержание вина в жидкости?
Жидкость не единственное вещество, которое льется. Примерно таким же свойством обладает песок. Ниже представлен вариант задачи с кувшинами, в котором необходимо измерять время, а не объем.
58. 15 МИНУТ СЛАВЫ
С помощью песочных часов на 7 и 11 минут отмерьте ровно четверть часа.
Я помогу вам решить эту задачу. Итак, у нас есть пара песочных часов и мы будем их переворачивать. Перевернув одни часы, мы смогли бы отмерить только либо 7, либо 11 минут, то есть вернулись бы к тому, с чего начали.
Давайте проанализируем числа – это полезно. Наши песочные часы отмеряют 7 и 11 минут, а нам необходимо отмерить 15 минут. Разность между одиннадцатью и семью равна четырем, а это то же число, что и разность между пятнадцатью и одиннадцатью. Значит, при решении нам нужно придерживаться следующей стратегии.
Переверните двое часов. Через семь минут в 7-минутных часах упадут последние песчинки, а вторые часы будут отсчитывать время еще 4 минуты. Именно этот интервал нам и нужен: здесь начнем отсчет 15 минут. Через четыре минуты 11-минутные часы опустеют. Сразу же переверните их – и через 11 минут получите ровно 15 минут, как показано на рисунке.
Впрочем, это не самое лучшее решение, ведь на него у нас ушло целых 22 минуты, хотя отмерить надо было четверть часа. Найдите более подходящий способ.
Измерять время можно и с помощью фитиля.
59. ПУТАНИЦА С ФИТИЛЯМИ
У вас есть набор фитилей, каждый из которых сгорает за один час. Длинные и тонкие фитили горят неравномерно: один участок может гореть быстрее, чем другой. Разрезание фитиля пополам не гарантирует, что каждая половина сгорит за полчаса.
1. С помощью двух фитилей отмерьте 45 минут.
2. С помощью одного фитиля как можно точнее отмерьте 20 минут.
Соль этой задачи в том, что понимание математики позволяет исключить условие неравномерности горения и точно отмерить промежутки времени. Мне нравится, что в этой головоломке математика берет верх над физикой.
Ниже предложена еще одна головоломка о том, как преодолеть несовершенство физического мира.
60. НЕПРАВИЛЬНАЯ МОНЕТА
В случае подбрасывания обычной монеты вероятность выпадения орла или решки равна 50: 50. Допустим, ваша монета с дефектом, из-за чего вероятность выпадения орла или решки составляет не 50: 50, а какое-то другое соотношение. Можно ли сделать так, чтобы она вела себя как обычная монета? Необходимо найти такую комбинацию подбрасываний, которая обеспечит результат 50: 50.
Монеты – важнейший инструмент в мире головоломок; в следующей главе мы поговорим о них подробнее.
Рычажные весы были единственным инструментом для взвешивания предметов вплоть до XVIII столетия, когда были изобретены пружинные весы с одной чашей. Будучи распространенным измерительным прибором, рычажные весы часто были героями математических головоломок, начиная с эпохи Возрождения до эпохи Просвещения и позднее. Решите одну из них.
61. РАЗДЕЛИТЕ МУКУ
