Сначала рассмотрим числа 1 и 3.
Число 7 896 541 230 не подходит, потому что 7 896 541 не делится на 7.
Число 9 876 541 230 не подходит, потому что 9 876 541 не делится на 7.
Рассмотрим числа 3 и 1.
Число 7 896 543 210 не подходит, потому что 7 896 543 не делится на 7.
Число 9 876 543 210 не подходит, потому что 9 876 543 не делится на 7.
Далее рассмотрим числа 1 и 9.
Число 7 836 541 290 не подходит, потому что 7 836 541 не делится на 7.
Число 3 876 541 290 не подходит, потому что 3 876 541 не делится на 7.
Рассмотрим числа 9 и 1.
Число 7 836 549 210 не подходит, потому что 783 654 не делится на 6.
Число 3 876 549 210 не подходит, потому что 3 876 549 не делится на 7.
Рассмотрим числа 3 и 7.
Число 1 896 543 270 не подходит, потому что 1 896 543 не делится на 7.
Число 9 816 543 270 не подходит, потому что 9 816 543 не делится на 7.
Рассмотрим числа 7 и 3.
Число 1 896 547 230 не подходит, потому что 1 896 547 не делится на 7.
Число 9 816 547 230 не подходит, потому что 9 816 547 не делится на 7.
Рассмотрим числа 7 и 9.
Число 1 836 547 290 не подходит, потому что 1 836 547 не делится на 7.
Число 3 816 547 290 подходит.
Рассмотрим числа 9 и 7.
Число 1 836 549 270 не подходит, потому что 1 836 549 не делится на 7.
Число 3 816 549 270 не подходит, потому что 3 816 549 не делится на 7.
Наконец-то мы нашли ответ. Искомое число – 3 816 547 290.
121. 1089 И ДРУГИЕ
Мы пытаемся найти такие значения a, b, c и d, при которых
abcd × 4 = dcba.
Член уравнения abcd – не a × b × c × d; это означает, что цифра a находится в разряде тысяч, b в разряде сотен, c в разряде десятков и d в разряде единиц. Таким образом, представленное выше уравнение можно записать в таком виде:
(1000a + 100b + 10c + d) × 4 = 1000d + 100c + 10b + a.
Теперь нам предстоит найти правильные способы упрощения и решения этого уравнения.
Шаг 1. Определяем значение a.
Значение левой стороны уравнения четное, поскольку имеет множитель 4; следовательно, его правая сторона тоже должна быть четной. Левая сторона уравнения устанавливает предел значения a, поскольку 4000a должно быть меньше 9999. (Если бы оно было больше 9999, в правой части уравнения было бы пятизначное число.) Единственное четное число, соответствующее этим условиям, – 2, поэтому a = 2.
Шаг 2. Определяем значение b.
Поскольку a = 2, левая сторона уравнения – это минимум 8000, а значит, значение d либо 8, либо 9. Однако если бы d = 9, в разряде единиц в левой части уравнения была бы цифра 6, так как 9 × 6 = 36. Но в разряде единиц должна быть цифра 2, потому что a = 2 правой части уравнения. Следовательно, d = 8.
Подставим эти значения в исходное уравнение:
(2000 + 100b + 10c +8) × 4 = 8000 + 100c + 10b + 2.
Это уравнение можно привести к такому виду:
8032 + 400b + 40c = 8002 + 100c + 10b.
А затем к такому
390b + 30 = 60c.
И далее
13b + 1 = 2c.
Не забывайте, что b и c – это отдельные цифры. Максимально возможное значение c = 9, а это значит, что максимально возможное значение 2c = 18. Таким образом, b может иметь только значение 1. А если b = 1, то c = 7.
Следовательно, ответ – 2178, так как 2178 × 4 = 8712.
122. ЗАДОМ НАПЕРЕД
Мы ищем такое число, при умножении которого на 2 последняя цифра произведения была бы первой цифрой полученного результата. Фримен Дайсон любезно сообщил нам о том, что минимальное число с таким свойством состоит из 18 цифр, поэтому обозначим его как nnnnnnnnnnnnnnnnnnR, где каждая n – это цифра, а nR– крайняя справа цифра.
Мы знаем, что
Найдем цифру для nR. Мы не можем взять 0, иначе ответ содержал бы всего 17 цифр, что делает умножение невозможным. Мы также не можем выбрать 1, потому что тогда ответ начинался бы с 1, что тоже невозможно: половина 18-значного числа, начинающегося с 1, – это 17-значное число, что противоречит условию задачи (исходное число состоит из 18 цифр). Возьмем 2.
И наше произведение становится таким:
Это уравнение можно решить, определяя значения n. Поскольку 2 × 2 = 4, последней цифрой нижнего числа будет 4.
Нижнее число состоит из тех же цифр и в том же порядке, что и верхнее, за исключением того, что последняя цифра верхнего числа – первая цифра нижнего числа. Из этого следует, что первая цифра нижнего числа – это предпоследняя цифра верхнего числа. Таким образом, предпоследняя цифра верхнего числа – 4.
Поскольку 4 × 2 = 8, предпоследней цифрой нижнего числа, а значит, и третьей от конца цифрой верхнего числа должна быть цифра 8.
До сих пор мы выполняли только операцию умножения на два. Наше следующее значение – 8 × 2 = 16, поэтому на следующей позиции (третья цифра с конца нижнего числа и четвертая цифра с конца верхнего числа) должна быть цифра 6, но поскольку она взята из числа 16, то мы должны перенести 1.
