Для следующего значения n у нас есть 6 × 2 = 12, но есть еще и перенос 1, что в сумме дает 13. Таким образом, на следующей позиции (четвертая от конца цифра нижнего числа и пятая от конца цифра верхнего числа) находится цифра 3, снова с переносом 1.
Продолжив умножение для нахождения обоих чисел, в итоге получим:
Итак, мы получили нужный ответ: произведение числа 105 263 157 894 736 842 на два представляет собой то же число, в котором последняя цифра становится первой.
Если бы мы решили выстроить число, заканчивающееся на 3, у нас получилось бы число 157 894 736 842 105 263, произведение которого на два дает 315 789 473 684 210 526, что также является правильным решением. Цифры, выделенные жирным шрифтом, показывают, что данное число содержит последовательность цифр, которая входит в состав числа из предыдущего абзаца. Аналогичным образом можно сгенерировать числа, которые заканчиваются на 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
123. ДЕВЯТАЯ СТЕПЕНЬ
Надеюсь, вы не пытались вычислить все эти числа, а если пытались, то наверняка заметили закономерность: последняя цифра девятой степени любого числа – это последняя цифра исходного числа.
Следовательно, в порядке возрастания эти числа будут заканчиваться на …0671 (= 319), …8832 (=329), …1953 (= 339), …6464 (= 349), …1875 (= 359), …8416 (= 369), …5077 (= 379), …2848 (= 389), …8759 (= 399).
В представленной ниже таблице показано, что происходит с последней цифрой числа в случае его возведения в различные степени.
Как показывает эта таблица, последняя цифра девятой степени любого числа совпадает с последней цифрой исходного числа, но то же самое происходит и с пятой степенью.
В действительности таким свойством, как совпадение последней цифры степени числа с последней цифрой самого числа, обладают пятая, девятая, тринадцатая степени и т. д., то есть каждая четвертая степень более высокого порядка.
124. КОГДА МНЕ БУДЕТ 64
Число 264 – это 2, умноженное само на себя 64 раза. Кроме того, это 64-й член последовательности удваивающихся чисел, которая начинается с 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024…
Пока все понятно. Мы могли бы вычислить еще 54 члена этой последовательности, но это было бы слишком скучно и, кроме того, мы неизбежно допустили бы ошибки. Нам требуется способ найти приблизительный ответ, не делая слишком много вычислений.
Начнем. Десятый член, или 210 = 1024. Или примерно 1000 – красивое круглое число.
Если тысяча – это примерно 210, значит, тысяча, умноженная на себя шесть раз, или 10006 – это примерно 210, умноженное на себя шесть раз, что равно (210)6 = 260.
10006 = 1000000000000000000, или квинтиллион.
Следовательно, 260 примерно равно квинтиллиону.
Мы знаем, сто 24 = 16.
Поэтому 264 = 260 × 24, что примерно равно 16 квинтиллионам.
Шестнадцать квинтиллионов – неплохой ответ, но мы можем получить более точный, сделав поправку на ошибку округления.
Мы округлили 1024 до 1000. Но число 1024 на 2,4 процента больше 1000. Каждый раз при умножении тысячи на саму себя нам следовало прибавлять дополнительных 2,4 процента. Поскольку мы умножили тысячу на себя шесть раз, нужно добавить 2,4 процента шесть раз, что в сумме составляет около 15 процентов. И более точный ответ = 16 квинтиллионов + 15 процентов.
Мы можем вычислить 15 процентов от 16 квинтиллионов в уме. Десять процентов – это 1,6 квинтиллиона, а пять процентов – половина этой величины, или 0,8 квинтиллиона. Следовательно, 15 процентов составляют 2,4 квинтиллиона.
В итоге (16 + 2,4) квинтиллиона = 18,4 квинтиллиона.
Весьма неплохо по сравнению с точным ответом:
18 446 744 073 709 551 616.
125. МНОГО ИЗ НИЧЕГО
Итак, что означают ноли в конце числа? Все довольно просто. Число, которое оканчивается на 0, делится на 10. Число, которое оканчивается на 00, делится на 100, или 10 × 10. Число, которое оканчивается на 000, делится на 1000, что равно 10 × 10 × 10. Другими словами, ноли в конце числа говорят о том, сколько раз это число делится на 10. Следовательно, вопрос в том, сколько раз 100! можно разделить на 10.
Мы знаем, что
100! = 100 × 99 × 98 × 97 × 96 × … × 3 × 2 × 1.
Проанализируем члены этого уравнения и определим, какие из них кратны 10.
На 10 можно разделить 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 и 100, значит, в конце числа 100! должно быть минимум 11 нолей (с учетом того, что у 100 два ноля).
Однако не все так просто. Существует возможность умножить два числа, не заканчивающиеся на 0, и получить число, которое оканчивается на 0. Это такие числа, как:
8 × 5 = 40
4 × 15 = 60
6 × 25 = 150
Но как нам найти в числе 100! все ноли, полученные в результате умножения чисел, не оканчивающихся на 0? Давайте проанализируем разложение этих чисел более внимательно.
8 × 5 = (2 × 2 × 2) × 5
Это равенство можно преобразовать так:
(2 × 2) × (2 × 5) = 4 × 10.
Аналогичным образом:
4 × 15 = (2 × 2) × (3 × 5) = (2 × 3) × (2 × 5) = 6 × 10
6 × 25 = (3 × 2) × (5 × 5) = (3 × 5) × (2 × 5) = 15 × 10.
При умножении двух чисел, которые не оканчиваются на ноль, и получении числа с окончанием 0 в мультипликативном разложении этих чисел должны присутствовать числа 2 и 5. Это объясняется тем, что каждый раз, когда 2 и 5 встречаются в цепочке чисел при умножении, их можно объединить, чтобы получить 10.
