«Истинно утверждение относительно того, что на деле связано, и отрицание относительно того, что на деле разъединено; а ложно то, что противоречит этому разграничению»
[9].
Отсюда повелось, что авторы трактатов по традиционной логике начинали с изучения образования понятий (или «идей», согласно Декарту и его последователям) и только потом приступали к изучению суждений. Такой подход связан с широко распространенным тезисом о том, что логическая связка выполняет функцию соединения и даже более того – объединения двух терминов суждения в единое целое. Кстати, стоит заметить, что подобная точка зрения приводит к очередной неразрешимой проблеме: как можно объединить в суждении то, что может существовать, лишь оставаясь отделенным. Перед нами одно из проявлений старой проблемы единичного и множественного: суждение связывает воедино то, что является множественным.
Как уже отмечалось, Фреге перевернул эту очередность. Отправной точкой становится предложение, истинное или ложное, а затем с помощью логического анализа определяются так называемые понятие или отношение. При этом, как мы видели, a priori отсутствуют предположения относительно понятий или отношений, участвующих в образовании предложения (суждения). Попытаемся проиллюстрировать эту мысль с помощью примера из области элементарной арифметики: возьмем равенство 3² = 9. Если считать константой х² = 9, выявляется понятие «квадратный корень из девяти» (под которое подпадают 3 и –3). Если считать константой х² = y, выявляется отношение «квадратный корень из». Если считать константой 3x = 9, выявляется понятие «логарифм 9 по основанию 3», и т. д. Следовательно, мы уже не можем сказать, например, что суждение 3² = 9 истинно, так как в этой формуле говорится, что 3 имеет свойство быть квадратным корнем из 9, поскольку можно с той же легкостью утверждать, что формула является истинной, так как в ней говорится в отношении 3 и 9, что первое число – квадратный корень из второго числа, и т. д. Аналогичным образом предложение «Демосфен является таким же хорошим оратором, как Цицерон» не может расцениваться как истинное, так как в нем говорится в отношении Демосфена, что он обладает свойством быть таким же хорошим оратором, как Цицерон, поскольку можно было бы также назвать его истинным, так как в нем говорится о том, что Демосфена с Цицероном связывает то отношение, что они оба являются хорошими ораторами, и т. д.
Грубо говоря, истинность или ложность предложения не зависит от того, что́ в нем утверждается или отрицается о некоем предмете. Единственное, что можно сказать: предложение «Демосфен является таким же хорошим оратором, как Цицерон» истинно, потому что Демосфен и вправду такой же хороший оратор, как Цицерон, – что не слишком утешительно! Следуя Расселу, это предложение является истинным на основании определенного факта, а точнее, факта, который мы можем выразить либо сказав, что Демосфен – такой же хороший оратор, как Цицерон, либо сказав, что Цицерон – такой же хороший оратор, как Демосфен, либо сказав, что среди равноценных ораторов, помимо прочих, были Демосфен и Цицерон, и т. п.
Что касается Фреге, то он сделал вывод, что истинное неопределимо: «Истина есть нечто столь примитивное и простое, что ее невозможно свести к чему-то еще более простому», – писал он
[10]. Витгенштейн в своем «Трактате» как раз попытался изложить теорию, позволяющую понять, что значит для предложения быть истинным или ложным.
Использование предложения в качестве отправной точки имело и другое, более техническое последствие. Это привело Фреге к тому, чтобы выявить и теоретически разработать логические отношения, существующие между предложениями независимо от их внутренней структуры. Исходя лишь из того факта, что предложения могут быть либо истинными, либо ложными, оказывается возможным соединять их при помощи союзов «и», «или», «ни… ни…», «если… то…» и т. д., так что истинность или ложность полученных таким образом предложений (которые мы будем называть молекулярными)
[11] зависит только от истинности или ложности предложений, входящих в их состав. Например, сложное предложение «Цицерон раскрыл заговор Катилины, и Катилина погиб в битве при Пистории» состоит из двух предложений: «Цицерон раскрыл заговор Катилины» и «Катилина погиб в битве при Пистории». Такого рода молекулярное предложение истинно лишь тогда, когда оба составляющих его предложения также истинны. Таким образом, из молекулярного предложения можно вывести каждое из двух составляющих его предложений: если первое истинно, то и каждое из двух других истинно. Следовательно, существуют умозаключения, правильность которых основывается лишь на вышеприведенных словах-связках (которые обычно называются пропозициональными связками). Наиболее распространенная форма умозаключения выглядит следующим образом (греческими буквами ϕ и φ обозначаются любые предложения):
ϕ, то φ; ϕ значит φ
Аристотель не принял в расчет этот уровень логики, тогда как стоики его систематически исследовали. Однако их работы, посвященные этому вопросу, были оставлены без внимания, а то и вовсе забыты, вследствие чего традиционная логика ограничилась в основном силлогистикой, безуспешно пытаясь изучать в ее рамках крайне немногочисленные умозаключения, наподобие тех, о которых только что упоминалось. В скором времени нам представится возможность подробнее разобрать ряд особенностей этой «пропозициональной логики», которые выявил и философски осмыслил Витгенштейн в «Трактате».
В целом, искусственный язык логики, который были вынуждены создать Фреге с Расселом, можно представить следующим образом.
В качестве исходной точки мы возьмем элементарные предложения, например: «Поль добрый», «Тулуза находится южнее Парижа», «Жюльену Матильда нравится больше, чем мадам де Реналь», «Помпиду приходится де Голлю тем же, кем Наполеон III приходится Наполеону I» и т. д. Как мы видим, эти предложения имеют формы R1(a), R2(a, b), R3(a, b, c), R4(a, b, c, d) и т. д. Из этих элементарных предложений можно образовать новые предложения двумя способами.
Прежде всего, мы можем соединить элементарные предложения посредством пропозициональных связок и таким образом получить предложения, которые именуются молекулярными, например: «Если Тулуза находится южнее Парижа, то Поль добрый», или «Поль добрый, и Жюльену Матильда нравится больше, чем мадам де Реналь», и т. д. Формы этих предложений таковы: если p, то q и p и q. Буквы p и q обозначают элементарные предложения.
