Таким образом, ответ должен прямо отрицать существование таких вещей, как куча. Кто-то может возразить второй предпосылке, заявив, что она верна не для всех «коллекций зерна» и что удаление одного зерна или песчинки все еще оставляет кучу кучей. Или же может заявить о том, что куча песка может состоять из одной песчинки.
Нечеткая логика берет «парадокс» из парадокса кучи. Это сводится к простой арифметике: умножьте кучу определений и получите определенность. Умножьте кучу неопределенностей, и получите сложную неопределенность. Чем больше неопределенностей вы умножаете, тем больше неопределенностей получаете. Бивалентность гласит, что утверждение «мозг жив» истинно на 100 %. Нечеткая логика или многозначность считает, что это правда в некоторой степени, менее 100 %, сначала, возможно, 99 % истинно, и в конечном итоге только 1 % истинно, когда, допустим, уже почти все клетки мозга мертвы.
Мораль: чем больше шагов в нашем вопросе, тем сложнее опрос. Когда мы спускаемся по лестнице выводов, выводов Шерлока Холмса, каждый шаг становится менее уверенным, менее безопасным, менее убедительным. Чем дольше он объясняется, тем меньше мы доверяем ему. Лучшим аргументом является прямое доказательство или опыт.
А как же дело обстоит с математическими рассуждениями? Они остаются двухвалентными. Они следуют по цепочке 100 %-ной уверенности и точности. Факт А влечет за собой факт В с точностью, факт В с точностью влечет за собой факт С, и так далее, пока дело не дойдет до определенного вывода. Математики часто судят о «глубине» теоремы по количеству шагов в ее доказательстве.
В 1976 году компьютер проверил тысячи случаев, чтобы доказать теорему о четырех цветах, согласно которой возможно окрасить карту только четырьмя цветами, если страны, разделяющие границы, должны иметь разные цвета. «Глубокая теорема» означает твердое доказательство, и это обычно означает длительное доказательство. Парадокс Кучи напоминает нам, что блуждать по просторам математики – совсем другое дело, нежели теоретически блуждать по просторам Вселенной.
Нечеткая логика основывается на двухвалентном рассуждении математики. Мы используем много маленьких черно-белых кирпичиков для построения математической теории серости. Тогда возникает вопрос: можем ли мы найти математическое утверждение, которое является серым? Проблема несоответствия (вызов Хемингуэя) заставляет нас отказаться от поиска утверждения о мире, которое является определенным, черно-белым описанием серой вещи. Но как насчет обратного? Можем ли мы найти серое описание черно-белой математики?
Парадокс – в конечной точке, его разрешение – посередине
Парадоксы в тех случаях, когда некое понятие ссылается само на себя, облачены в такие формы, в которых они одновременно утверждают и отрицают себя. Они обладают логической формой и во многом способны раздосадовать западных математиков.
Существует множество парадоксов, которые имеют одну из конечных точек, – факт А или не факт А. Из всех правил есть исключения. Это правило. Есть ли у него исключения? Предположим, что есть. Но тогда оно перестает быть правилом. Если у него есть исключения, тогда есть правила без исключений, и оно опровергает себя. В таком случае получается, что конечная точка данного парадокса находится где-то между фактом А и фактом не А. То же самое справедливо и для обобщения – все обобщения ложны.
Вы можете создать свой собственный парадокс лжеца на карточке. Для этого на одной стороне карточки напишите: «Предложение с другой стороны карточки истинно». С другой стороны напишите: «Предложение с другой стороны ложно».
В таких случаях парадоксы, которые ссылаются сами на себя, выглядят довольно забавно и симпатично, просто создавая игру слов. Это помогло дать им название «парадокс», которое предполагает, что двухвалентные противоречия являются только очевидными проблемами, а также что они представляют собой исключения, которые мы можем исправить путем работы с ними.
Бертран Рассел нашел парадокс, который положил конец точной математике, которая преобладала и главенствовала в науке со времен Аристотеля. Именно по этой причине Бертран Рассел может по праву считаться «дедушкой» нечеткой логики.
Парадокс Рассела имеет дело с множеством множеств. Коробок, которые наполнены коробками. Сами по себе множества не являются нечеткими. Объекты либо внутри них, либо снаружи. И это тоже вопрос степени. Бертран Рассел обнаружил множества, содержащие объекты и не содержащие объекты внутри себя. Иными словами, он обнаружил множество всех множеств, которые не являлись своими членами.
Рассмотрим множество яблок. Является ли оно множеством самого себя? Нет. Его члены – яблоки, а не множества. То же самое относится ко множествам других возможных объектов, предметов, людей, звезд и вселенных. Они не содержат множества. Они содержат людей, звезды или вселенные. А что насчет множества всех множеств? Является ли оно членом самого себя? Да. Множество всех множеств – это то множество, которому принадлежит членство в своем клубе.
Парадокс Рассела поразил математическое сообщество, произвел фурор и получил статус скандального. За несколько десятилетий до этого математикам приходилось иметь дело с неевклидовыми геометриями изогнутого пространства. На рубеже веков Георг Кантор, немецкий математик, ученик Вейерштрасса, наиболее известный как создатель теории множеств, заставил их принять каскад бесконечностей – столько бесконечностей, сколько существовало чисел (по правде говоря, возможно, чисел существует гораздо больше, чем мы привыкли думать, – возможно, существует континуум нечетких бесконечностей). Но изогнутое пространство и лестница бесконечностей не оспаривали определенность математики. Они расширяли ее границы, переводя на новый уровень. Парадокс Рассела был не парадоксом, а противоречием. Это означало, что возможно доказать любое заявление, которое нравилось ученым, поскольку противоречие подразумевает все.
Первой реакцией на это стало отрицание. Многие математики не одобряли парадоксы, не воспринимая их всерьез и считая, что парадоксы – лишь игра слов. Они не наблюдали проблем или противоречий в математических направлениях, которыми занимались. Они не обнаружили никаких парадоксов ни в гомологической ветви алгебры, ни в коммуникативной алгебре, ни в дифференциальной геометрии. Парадоксы казались артефактами, полученными в процессе того, как логики использовали основы логики и теории множеств. И такое отношение к парадоксам сохраняется по сей день. Парадоксы затрагивают многие разнообразные ветви и направления математики, оказывая влияние на них потому, что каждая ветвь основывается на теории множеств, но, тем не менее, математики не придают парадоксам надлежащего значения. Множество или класс является фундаментальной структурой в математике. Изначально существовали не объекты, а множества объектов. Даже множества были пусты.
Следующей реакцией на появление парадоксов стала попытка определить их как несуществующие. Парадоксы – противоречия. Ученые пытались доказать, что предположения и допущение различных фактов при объяснении парадоксов приводят к противоречию или абсурду. Такой техникой пользовался древнегреческий философ Сократ, этой же техникой пользуются политики для атаки на своих оппонентов. Мы не замечаем, как часто все мы в повседневной жизни прибегаем к подобному приему опровержения того, что нам не нравится.
