Не нужно спорить с идеей или практикой. Нужно показать, что предмет обсуждения абсурден или приводит к плохим последствиям: атеизм влечет упадок морали. Анархия ведет к хаосу. Употребление марихуаны влечет за собой употребление более тяжелых наркотиков. Порнография приводит к насилию. В этих случаях мы используем следующую технику: если А подразумевает С и если С оказывается ложным или ведет по неправильному пути, тогда мы отрицаем А.
Парадоксы Бертрана Рассела были непростыми. Все пути в математике вели к ним, вся математика в целом сводилась к ним. Логика вела к ним. Никто не знал, от каких математических идей и предположений они должны были отказаться, чтобы предотвратить парадоксы. В споре более одного шага. Эффект имеет несколько совместных логических причин. Если А и В означают С, а если С получается ложным, то либо А является ложным, либо В является ложным, либо оба А и В являются ложными. Мы не знаем, что именно. Математика основывается на нескольких аксиомах и некоторых наитиях. Какие именно из них вызвали проблемы и несоответствия?
Начался поиск чистого набора аксиом, который избегал парадоксов. Рассел предложил свою «теорию типов», чтобы избежать парадоксов. Эта теория гласила, что можно говорить только на одном уровне математики за один раз, продвигаясь по иерархии математической лестницы. То есть, вы можете сделать утверждение «яблоки – красные», потому что знаете, что красный цвет – свойство яблок. Это свойство присуще данным объектам в логической иерархии. Также вы можете сделать заявление «красный – это цвет», идя по такому же логическому пути. Но вы не можете сказать «яблоки – это цвет» потому что тогда вы пропустите одну из логических ступеней математической лестницы. Так утверждал Бертран Рассел. Он утверждал так в надежде, что это поможет предотвратить парадоксы.
Математики и логики оспаривали это предположение и продолжали демонстрировать, что теория типов Рассела обходится математике слишком дорого.
Другие предложенные наборы аксиом постигла та же участь. Эти аксиомы либо содержали слишком много математики, либо приводили к новым парадоксам. Некоторые сочетали и то, и другое. Они сохранили математику за счет математики и не предложили другой альтернативы. Новые аксиомы не опирались на интуицию. Они были слишком загадочными и абстрактными для мозга человека, развившегося путем эволюционирования от млекопитающих. Символы языка и символы торговли появились в конце этого процесса за последние 10000 лет или около того – примерно за последние 500 поколений. Единственным возможным случаем появления нового набора аксиом был случай, который подразумевал под собой избавление от парадоксов с ущербом для математики.
Рассел, похоже, первым предложил нечеткие ответы на вопросы. Он не преследовал нечеткую логику непосредственно, но, так или иначе, он в некотором роде ее предложил. Почему бы не отказаться от закона исключенного среднего? К черту Аристотеля. Кто сказал, что верен и может существовать либо факт А, либо факт не А? Но это казалось слишком радикальным. Никто не хотел отказываться от доказательства путем противоречия. Гарвардский логик Уиллард Ван Орман Куайн, преемник Рассела, как и другие, сказал, что сам взгляд был своего рода «доведением до абсурда».
Идея об абсурдности также упускала из виду ключевой момент: кто сказал, что все противоречия одинаковы? Предположим, что мы подчиняемся законам логики и математики и получаем один из ответов: А или не А. Кто сказал, что это утверждение должно быть точным на 100 %? Мы имеем дело с пограничными делами только в том случае, когда сами определяем границы.
Нечеткий подход идет еще дальше – с точки зрения нечеткой логики парадоксы самореференции, парадоксы с отсылкой на самих себя, являются «полуправдами». Нечеткими противоречиями. А и не А, но А истинно только 50 %, а не А истинно только 50 %. Парадоксы буквально наполовину верны и наполовину ложны. Они находятся в середине нечетких кубов, равноудаленных от черно-белых их граней. Они соответствуют Будде, который сидит, ухмыляясь, и Аристотелю, который сидит нахмурившись при разных значениях.
Старые и новые парадоксы многому учат нас. Первое, чему они учат, – это то, что мы назвали их неверно. Термин «парадокс» предполагает исключение. Чистый анализ показывает обратное. Парадоксы – это правило, а не исключение. Исключением являются чистые черно-белые исходы, нечеткие кубы, заполненные серыми ответами. Есть две аристотелевские крайности черного и белого, 0 и 1, и бесконечно много оттенков серого между ними. Серый оттенок означает факт А и факт не А в некоторой степени. Парадоксы также показывают, чего стоит бивалентность и как дорого она иногда обходится. Вы не можете всегда просто брать и округлять факты, это не так просто. Вы меняете точность на простоту, и за это приходится платить.
Парадоксы самореференции показывают, что двухвалентный страх перед логическим противоречием заканчивается противоречием.
Неопределенный мир
В конце 1920-х годов Вернер Гейзенберг ошеломил научный мир своим принципом неопределенности квантовой механики. Он показал, что вы можете рассматривать предмет ближе и при этом видеть меньше. Рассел показал, что логика в нашем сознании неясна и неопределенна. Теперь Гейзенберг показал, что атомы в мозгу человека неопределенны. Даже обладая полной информацией о чем-либо, вы не могли бы делать утверждения об этом со 100 %-ной уверенностью. Мы помним, что фундаментальное соображение Гейзенберга заключалось в том, что чем точнее измеряется одна характеристика частицы, тем менее точно можно измерить вторую.
Гейзенберг показал, что даже в физике истина высказываний является вопросом степени. Он заставил мир столкнуться с многозначной логикой, утверждениями истинными, ложными или неопределенными до некоторой степени. Он не разработал математику нечеткой логики. Ян Лукасевич в Польше уже делал это примерно десять лет назад. Гейзенберг заставил людей сомневаться в бивалентной логике. Они воспринимали это как нечто само собой разумеющееся на протяжении веков, потому что Аристотель считал это само собой разумеющимся. Аристотель и математики считали, что каждое «правильно сформулированное» утверждение было либо истинным, либо ложным. Возможно, мы не сможем определить истинность высказываний о внутреннем содержимом солнц, атомов или инопланетян на дальней стороне Вселенной. Гейзенберг доказал, что в квантовой механике некоторые вещи мы не сможем узнать никогда. Они в принципе непознаваемы. Гейзенберг заставил ученых сомневаться. В то время теория вероятности была единственным способом, чтобы облачить это сомнение в математическую форму. Итак, вместо того, чтобы совершить шаг от черно-белой истины к серой, принцип неопределенности остановился на черно-белой истине: все или ничего. Возможно, со временем нечеткая математика и нечеткая квантовая физика смогут это исправить.
Пожалуй, вам нужно знать три малоизвестных факта о принципе неопределенности Гейзенберга. Во-первых, почти все неправильно ее понимают. Она не имеет никакого отношения к тому, как измерение нарушает то, что вы измеряете. Во-вторых, существует множество принципов неопределенности, и они не имеют ничего общего с квантовой механикой. Они имеют гораздо больше общего с обработкой сигналов, которые управляют телевизорами, телефонами и вашими глазами. Это все артефакты линейного способа взглянуть на мир. В-третьих, принципы неопределенности вытекают прямо из самой старой и самой важной теоремы в математике, теоремы Пифагора о треугольниках. Эта теорема, в свою очередь, вытекает прямо из нечеткой логики, и наоборот.
