77. В действительности обвинитель сказал, что подсудимый не совершал преступления в одиночку. Защитник, отрицая высказывание обвинителя, тем самым утверждал, что подсудимый совершил преступление в одиночку.
78. Можно, причем очень просто. В силу высказывания (1), если А невиновен, то С виновен (поскольку если А невиновен, то дизъюнкция «либо А невиновен, либо В виновен» – истинна). В силу высказывания (2), если А невиновен, то С невиновен. Следовательно, если А невиновен, то С одновременно виновен и невиновен, что невозможно. Значит, А должен быть виновен.
79. Двое подсудимых, один из которых должен быть виновен, это А и С. Действительно, предположим, что В невиновен. Тогда в силу высказывания (1) А или С должен быть виновен. С другой стороны, предположим, что В виновен. Если А виновен, то по крайней мере кто-то один из А и С заведомо виновен. Но предположим, что А невиновен. Тогда В виновен, а А невиновен. Следовательно, в силу высказывания (2) С должен быть виновен, то есть и в этом случае либо В, либо С виновен.
80. Прежде всего докажем, что если А виновен, то С виновен. Предположим, что А виновен. Тогда в силу высказывания (2) либо В, либо С виновен. Если В невиновен, то виновен должен быть С. Но предположим, что В виновен. Тогда А и В оба виновны. Следовательно, в силу высказывания (1) С также виновен. Это доказывает, что если А виновен, то С виновен. Кроме того, в силу высказывания (3), если С виновен, то D виновен. Сопоставляя эти два факта, мы заключаем, что если А виновен, то D виновен. Но в силу высказывания (4), если А невиновен, то D виновен. Следовательно, независимо от того, виновен или невиновен А, подсудимый D должен быть виновен. Таким образом, виновность D не вызывает сомнений. Виновность всех остальных подсудимых остается под сомнением.
81. Все подсудимые виновны. Действительно, в силу высказывания (3), если D невиновен, то А виновен. В силу высказывания (4), если D виновен, то А виновен. Следовательно, независимо от того, виновен или невиновен D, подсудимый А должен быть виновен. Тогда в силу высказывания (1) В также виновен. Из высказывания (2) мы заключаем, что либо С виновен, либо А невиновен. Поскольку уже известно, что А не невиновен, то С должен быть виновен. Наконец, из высказывания (3) следует, что если D невиновен, то С невиновен. Но мы уже доказали, что С не невиновен, поэтому D должен быть виновен. Итак, все подсудимые виновны.
82. Вполне разумно: оно помогло подсудимому снять с себя все подозрения! Действительно, предположим, что подсудимый – рыцарь. Тогда его высказывание истинно, и виновный – лжец. Следовательно, подсудимый должен быть невиновен. С другой стороны, предположим, что подсудимый – лжец. Тогда его высказывание ложно, поэтому тот, кто совершил преступление, – рыцарь. Следовательно, и в этом случае подсудимый невиновен.
83. Предположим, что обвинитель был бы лжецом. Тогда высказывания (1) и (2) были бы ложными. Но если высказывание (1) ложно, то X невиновен, а если ложно высказывание (2), то X и Y оба виновны. Итак, X должен был быть виновным и невиновным одновременно, что невозможно. Следовательно, обвинитель должен быть рыцарем. Значит, X в действительности виновен, а поскольку X и Y не могут быть виновными одновременно, то Y должен быть невиновен. Следовательно, X виновен, Y невиновен, и обвинитель – рыцарь.
84. Если бы обвинитель был лжецом, то тогда:
1) X и Y оба были бы невиновны;
2) X был бы виновен.
И в этом случае мы бы опять пришли к противоречию. Следовательно, обвинитель – рыцарь, X неви новен, a Y виновен.
85. Предположим, что обвинитель был бы лжецом. Тогда высказывание (1) ложно, поэтому X виновен и Y невиновен. Следовательно, X виновен. Но высказывание (2) также ложно, поэтому X невиновен, и мы приходим к противоречию. Значит, в этой задаче, так же как и в предыдущей, обвинитель – рыцарь. Тогда в силу высказывания (2) X виновен. Из высказывания (1) (так как X не невиновен) мы заключаем, что Y виновен. Следовательно, в этом случае X и Y оба виновны.
86. Подсудимый А не может быть рыцарем, так как если бы он был рыцарем, то был бы виновен и не лгал бы, утверждая, что невиновен. Подсудимый А не может быть и лжецом, так как если бы он был лжецом, то его высказывание было бы ложным, и он был бы виновен и, следовательно, был бы рыцарем. Значит, А – обычный человек и невиновен. Поскольку А невиновен, то высказывание островитянина В истинно. Следовательно, В не лжец: он либо рыцарь, либо обычный человек. Предположим, что В был бы обычным человеком. Тогда высказывание островитянина С было бы ложным, и С был бы либо лжецом, либо обычным человеком. Это означало бы, что среди трех островитян А, В, С нет ни одного рыцаря. Следовательно, вопреки условиям задачи ни один из них не виновен. Отсюда мы заключаем, что В не может быть обычным человеком. Он должен быть рыцарем и, следовательно, виновен.
87. Пока Крэг не прибыл.
[1] Прежде всего заметим, что А не может быть лжецом, так как если бы он был лжецом, то его высказывание было бы ложно и, следовательно, он был бы виновен. Мы пришли бы к противоречию с тем условием задачи, в котором говорится, что лжец невиновен. Значит, А – либо рыцарь, либо обычный человек.
Первый случай: А – рыцарь. Поскольку его высказывание истинно, то он невиновен. Тогда высказывание защитника В также истинно. Следовательно, В – либо рыцарь, либо обычный человек. Но А – рыцарь; поэтому В – обычный человек. Значит, С может быть только лжецом. А поскольку известно, что лжец невиновен, то В виновен.
Второй случай: А – обычный человек и невиновен. Высказывание защитника В истинно и в этом случае, поэтому В – рыцарь (поскольку А – обычный человек). Так как А невиновен и С, будучи лжецом, невиновен, то виновен В.
Третий случай: А – обычный человек и виновен. В этом случае высказывание обвинителя истинно, поэтому обвинитель должен быть рыцарем (он не может быть обычным человеком, так как «вакансия» обычного человека занята А). Следовательно, В может быть только лжецом.
Итак, вот что мы выяснили, рассматривая три возможных случая:
Все три случая согласуются с заявлениями, сделанными тремя главными участниками судебного процесса до прибытия Крэга.
После прибытия Крэга. Крэг спросил у обвинителя, виновен ли тот. Задавая свой вопрос, инспектор Крэг уже знал, что обвинитель невиновен (так как во всех трех случаях обвинитель невиновен), поэтому ответ обвинителя был нужен Крэгу лишь для того, чтобы установить, кто такой обвинитель: рыцарь или лжец. Если бы обвинитель правдиво ответил «нет», то инспектор Крэг понял бы, что случаи (1) и (2) можно исключить, и не стал бы задавать новых вопросов. Но инспектору Крэгу, после того как обвинитель ответил, понадобилось задать еще несколько вопросов. Следовательно, обвинитель должен быть лжецом и на вопрос инспектора ответить «да». Такой ответ заставил инспектора Крэга (а вместе с ним и читателя) исключить из рассмотрения случай (3) и в дальнейшем рассматривать только случаи (1) и (2). Это означает, что в действительности виновен защитник, но относительно подсудимого и защитника неизвестно, кто из них рыцарь и кто обычный человек. Затем Крэг спросил у подсудимого, виновен ли обвинитель и, получив ответ, смог до конца разобраться в ситуации. На вопрос Крэга рыцарь ответил бы «нет», в то время как обычный человек ответил бы либо «да», либо «нет». Получив ответ «нет», Крэг не смог бы определить, был ли подсудимый рыцарем или обычным человеком. Но поскольку для Крэга после ответа все стало ясно, то подсудимый должен был ответить «да». Следовательно, подсудимый – обычный человек, а защитник – рыцарь (хотя он и виновен).
