Следовательно, независимо от того, рыцарь ли С или лжец, оборотень – лжец (хотя в каждом случае речь идет о другом лице). Итак, ответ на первый вопрос гласит: оборотень – лжец. Кроме того, мы доказали, что оборотнем может быть либо В, либо С. Следовательно, если вы хотите выбрать себе попутчика, который заведомо не был бы оборотнем, то вам следует остановить свой выбор на А.
89. Докажем сначала, что С – рыцарь. Предположим, что С был бы лжецом. Тогда его первое высказывание было бы ложным, поэтому по крайней мере двое из трех островитян были бы рыцарями. Это означало бы, что А и В оба должны быть рыцарями (так как по предположению С – лжец). Следовательно, их высказывания были бы истинными, и они оба вопреки условиям задачи были бы оборотнями. Итак, С – рыцарь. Тогда ровно двое из трех лжецы. Ими должны быть А и В. А поскольку их высказывания ложны, то ни А, ни В не оборотни. Следовательно, оборотнем должен быть С. Таким образом, С – рыцарь и оборотень, А и В – лжецы, и ни один из них не оборотень.
90. Если бы В был лжецом, то по крайней мере один из трех островитян действительно был бы лжецом. Но тогда его высказывание было бы истинным, и мы пришли бы к противоречию, так как лжецы не говорят правды. Следовательно, В – рыцарь. Тогда высказывание А истинно, и А также должен быть рыцарем. Таким образом, и А, и В – рыцари. Так как В – рыцарь, то его высказывание истинно, поэтому один из трех – лжец. Им должен быть С. Следовательно, он и только он оборотень.
91. А должен быть рыцарем по тем же самым причинам, по которым в предыдущей задаче был рыцарем В, а именно: если бы А был лжецом, то было бы истинным высказывание о том, что по крайней мере один из трех лжец, и мы пришли бы к противоречию (высказывание лжеца было бы истинным). Так как А – рыцарь, то его высказывание истинно, поэтому по крайней мере один из трех действительно лжец. Если бы В был рыцарем, то (в силу высказывания В) С также был бы рыцарем, и все трое оказались бы рыцарями. Но в истинном высказывании А утверждается, что по крайней мере один из трех – лжец. Следовательно, В должен быть лжецом. А так как В утверждает, что С – рыцарь, то С в действительности лжец. Таким образом, А – единственный рыцарь. Следовательно, А – оборотень.
92. Из высказывания А следует, что А должен быть рыцарем и по крайней мере один из трех должен быть лжецом. Если бы В был рыцарем, то С был бы оборотнем и, значит, еще одним рыцарем, но тогда трое были бы рыцарями. Следовательно, В – лжец. Но тогда С не оборотень. Поскольку известно, что оборотень – рыцарь, то В также не может быть оборотнем. Значит, оборотень А.
93. Если бы В был рыцарем, то С был бы оборотнем и рыцарем, то есть рыцарей было бы двое. Следовательно, В – лжец, а С не оборотень. Кроме того, В, будучи лжецом, не оборотень. Значит, оборотень А.
94. Вам следовало бы выбрать В. Предположим, что В – рыцарь. Тогда его высказывание истинно. Следовательно, оборотень – лжец, поэтому В не может быть оборотнем. Предположим, что В – лжец. Тогда его высказывание ложно, а это означает, что оборотень в действительности рыцарь. Следовательно, и в этом случае В не может быть оборотнем.
95. Все, что вам нужно сказать: «Я бедный лжец». Из этого высказывания ваша возлюбленная сразу же заключит, что вы не рыцарь (поскольку рыцарь не стал бы лгать и утверждать, что он бедный лжец). Следовательно, вы должны быть лжецом, а так как ваше высказывание ложно, то вы не бедный лжец. Но вы лжец, поэтому вы должны быть богатым лжецом.
96. Вам нужно сказать: «Я не бедный рыцарь». Услыхав такое признание, ваша возлюбленная стала бы рассуждать следующим образом. Если бы вы были лжецом, то вы действительно не были бы бедным рыцарем. Следовательно, ваше высказывание было бы истинным. Это означало бы, что вы, будучи лжецом, высказали истинное утверждение. Возникшее противоречие показывает, что вы рыцарь. Но тогда ваше высказывание истинно, и вы не бедный рыцарь. А поскольку вы рыцарь, то вы должны быть богатым рыцарем.
97. Эта задача имеет несколько решений. Простейшее из них состоит в следующем. Вы спрашиваете у брата вашей избранницы: «Вы и Элизабет однотипны?» Если он ответит «да», то Элизабет должна быть рыцарем независимо от того, будет ли ее брат рыцарем или лжецом. Если же он ответит «нет», то Элизабет должна быть лжецом независимо от того, кто ее брат. Докажем это.
Предположим, что на ваш вопрос брат Элизабет ответил «да». Мы знаем, что ее брат – либо рыцарь, либо лжец. Если он рыцарь, то его высказывание, утверждающее, что Элизабет рыцарь, истинно. Следовательно, Элизабет также должна быть рыцарем. Если брат Элизабет – лжец, то его высказывание ложно. Следовательно, он и Элизабет разнотипны, а это означает, что Элизабет и в этом случае должна быть рыцарем. Итак, если Артур отвечает вам «да», то Элизабет рыцарь.
Предположим, что Артур отвечает «нет». Если он рыцарь, то говорит правду. Следовательно, он и Элизабет разнотипны, поэтому Элизабет должна быть лжецом. Если же он лжец, то его высказывание ложно. Тогда Элизабет в действительности однотипна с ним, а следовательно, и в этом случае должна быть лжецом. Итак, если Артур отвечает вам «нет», то Элизабет – лжец.
98. Эта задача также допускает несколько решений. Простейшее и наиболее изящное из известных мне решений состоит в том, чтобы, выбрав одну из сестер (например, А), спросить у нее: «В по рангу ниже С?». Предположим, что А отвечает «да». Тогда вы выбираете себе в невесты В, рассуждая при этом следующим образом. Предположим, что А – рыцарь. Тогда В по рангу действительно ниже С. Следовательно, В – лжец, а сестра С – обычный человек. В этом случае
[2] В не оборотень (так как оборотень С). Предположим, что А – лжец. Тогда В в действительности по рангу выше С. Это означает, что В – рыцарь, а С – обычный человек. Следовательно, и в этом случае В – не оборотень. Если А – обычный человек, то В заведомо не оборотень, так как оборотень А. Итак, если А отвечает на ваш вопрос «да», то независимо от того, будет ли она рыцарем или лжецом, вам следует выбрать себе в невесты сестру В.
Если бы А ответила «нет», то ее ответ был бы эквивалентен утверждению, что С по рангу ниже В. В этом случае вам следовало бы выбрать себе в невесты сестру С.
99. Все подозрения с вас могло бы снять одно-единственное высказывание: «Я виновен». Вы, будучи лжецом, могли бы сделать такое заявление на суде, поскольку оно ложно, и оно сняло бы с вас подозрения, так как присяжные, искушенные в логике, рассуждали бы следующим образом. Если бы вы действительно были виновны, то вы были бы лжецом (так как известно, что преступник – лжец). Но тогда вы, будучи лжецом, высказали бы истинное утверждение. Таким образом, предположение о том, что вы виновны, приводит к противоречию. Следовательно, вы невиновны.
Приведенное нами рассуждение присяжных может служить типичным примером рассуждения от противного (ложность утверждения доказывается тем, что высказанный тезис доводится до нелепости, отсюда латинское название этого способа доказательства reductio ad absurdum – приведение к нелепости). Присяжные могли бы прийти к тому же выводу и более прямым путем, рассуждая следующим образом. Вы либо лжец, либо не лжец (напомним, что присяжным неизвестно, лжец вы или не лжец). Если вы лжец, то ваше высказывание ложно. Следовательно, вы невиновны. Если вы не лжец, то вы заведомо невиновны, так как преступник – лжец.
