Какой вопрос следовало мне задать островитянину?
125
Случилось мне как-то раз побывать на другом острове рыцарей, лжецов и обычных людей. По слухам, на том острове были закопаны несметные сокровища, и я хотел разузнать, как обстоит дело в действительности. Король острова (рыцарь) любезно представил меня трем своим подданным А, В и С и сообщил мне, что не более чем один из них обычный человек. Любому из них разрешалось задать два вопроса, на которые можно ответить «да» или «нет».
Можно ли при помощи двух таких вопросов выяснить, запрятаны ли на острове сокровища?
126. Умеете ли вы рассуждать логически?
Предположим, что население двух соседних островов составляют только рыцари и лжецы (на островах нет ни одного обычного человека). Вам говорят, что на одном острове проживает четное, а на другом – нечетное число рыцарей. Вам также сообщают, что на острове с четным числом рыцарей закопаны сокровища, а на острове с нечетным числом рыцарей сокровищ нет.
Вы выбираете наугад один из островов и отправляетесь туда. Все обитатели острова знают, сколько рыцарей и сколько лжецов живет среди них. Вы беседуете с тремя обитателями А, В и С острова и получаете от них следующие заявления:
А: Число лжецов на этом острове четно.
В: На нашем острове сейчас находится нечетное число людей.
С: Я рыцарь в том и только в том случае, если А и В однотипны.
Предположим, что вы не рыцарь и не лжец и что, когда вы были на острове, других гостей на нем не было. Спрятаны ли на острове сокровища?
РЕШЕНИЯ
109–112. Эти четыре задачи основаны на использовании одной и той же идеи, которая сводится к следующему. Пусть Р – любое высказывание, а А – любой обитатель острова рыцарей и лжецов. Тогда если А высказывает утверждение: «Если я рыцарь, то Р», то он должен быть рыцарем, а высказывание Р должно быть истинным! В это трудно поверить, и мы докажем наше удивительное утверждение двумя способами.
1. Предположим, что А – рыцарь. Тогда высказывание «Если А – рыцарь, то Р» должно быть истинным (так как рыцари всегда говорят правду). Следовательно, А – рыцарь, и верно, что если А – рыцарь, то Р. Из этих двух фактов мы заключаем, что Р должно быть истинно. Таким образом, приняв в качестве посылок предположение о том, что А – рыцарь, мы получаем в качестве заключения высказывание Р. Тем самым (с учетом факта 4 об импликации) мы доказали, что если А – рыцарь, то Р. Но именно это и утверждал А! Следовательно, А должен быть рыцарем. А так как мы доказали, что если А – рыцарь, то Р, то заключаем, что Р должно быть истинно.
2. Другой способ убедиться в истинности нашего утверждения состоит в следующем. Напомним, что из ложного высказывания следует любое высказывание. Поэтому если А не рыцарь, то высказывание «Если А – рыцарь, то Р» автоматически становится истинным и, следовательно, не могло бы принадлежать лжецу. Значит, если кто-нибудь, о ком известно, что он может быть либо рыцарем, либо лжецом, высказывает такое утверждение, то он может быть только рыцарем и высказывание Р должно быть истинным.
Применим этот принцип к нашим задачам. Начнем с задачи 109. Если в качестве Р принято высказывание «В – рыцарь», то ясно, что А должен быть рыцарем, а его высказывание истинным. Следовательно, В – рыцарь, и мы получаем ответ: А и В – оба рыцари.
В задаче 110 в качестве Р выберем высказывание «А придется съесть свою шляпу». Мы видим, что А должен быть рыцарем и что ему придется съесть свою шляпу. (Тем самым доказано, что хотя рыцари обладают несомненными достоинствами и добродетелями, они тем не менее могут быть глуповатыми.)
Ответ к задаче 111: A – рыцарь.
Правильное заключение, к которому можно прийти в задаче 112: автор опять мистифицирует читателей! Условия задачи противоречивы: высказывание «Если я рыцарь, то дважды два – пять» не может принадлежать ни рыцарю, ни лжецу.
113. А должен быть рыцарем, а В – лжецом.
Докажем прежде всего, что только рыцарь может высказать утверждение вида «Если Р, то я лжец». Напомним, что истинное высказывание следует из любого высказывания. Значит, если высказывание «Я лжец» истинно, то полное высказывание «Если Р, то я лжец», также истинно. Но если я лжец, то никакое истинное высказывание не могло бы принадлежать мне. Следовательно, высказывая утверждение «Если Р, то я лжец», я должен быть рыцарем.
Итак, А должен быть рыцарем. Следовательно, верно также, что если В – рыцарь, то А – лжец (потому что А настаивает на истинности этого высказывания). Тогда В не может быть рыцарем, так как в противном случае А должен бы быть лжецом, а он им не является. Следовательно, В – лжец.
[3]
114. А в действительности утверждает: «Неверно, что X виновен, a Y невиновен». Но это то же самое, как если бы А утверждал: «Либо X невиновен, либо Y виновен». Следовательно, А и В в действительности утверждают одно и то же, но выражают свою мысль по-разному. Таким образом, утверждения, приведенные в задаче, либо оба истинны, либо оба ложны, поэтому А и В должны быть однотипными.
115. Предположим, что А – рыцарь. Тогда В также рыцарь (по утверждению А). Следовательно, высказывание В «Если А – рыцарь, то С – рыцарь» истинно. Но (по предположению) А – рыцарь. Следовательно, С – рыцарь (в предположении, что А – рыцарь).
Итак, мы доказали, что если А – рыцарь, то С – рыцарь. Именно это и утверждал В. Следовательно, В – рыцарь. Значит, высказывание А о том, что В – рыцарь, истинно, поэтому А также рыцарь. Итак, мы доказали, что если А – рыцарь, то С – рыцарь. Следовательно, С также рыцарь. Значит, все трое – рыцари.
[4]
116. Из приведенных в задаче высказываний не следует, что я люблю Бетти, но следует, что я люблю Джейн. В том, что я люблю Джейн, можно убедиться при помощи, например, таких рассуждений.
Я либо люблю Бетти, либо не люблю ее. Если я не люблю Бетти, то по условию (1) я должен любить Джейн (так как в задаче сказано, что я люблю по крайней мере одну из девушек). С другой стороны, если я люблю Бетти, то по условию (2) должен любить и Джейн. Значит, независимо от того, люблю ли я или не люблю Бетти, мы приходим к выводу, что я люблю Джейн.
Замечу, кстати, что тем из читательниц, кого зовут Бетти, огорчаться было бы преждевременно: хотя из условий задачи не следует, что я люблю Бетти, из них не следует, что я не люблю Бетти. Вполне возможно, что я люблю и ее, причем даже больше, чем Джейн.
