258. Ничего: существование такого цирюльника логически невозможно.
259. В ответ на вопросы задачи вам следует заявить, что автор опять лжет! Описанная мною ситуация невозможна. В действительности эта задача представляет собой не что иное, как парадокс Журдэна в слегка «загримированном» виде (см. задачу 254).
Если бы А был рыцарем, то В в действительности был бы рыцарем. Следовательно, А в действительности не рыцарь. Если бы А был лжецом, то В в действительности был бы не лжецом, а рыцарем. Значит, его утверждение было бы истинным, и А был бы рыцарем. Следовательно, А не может быть ни рыцарем, ни лжецом, так как и в том и в другом случае мы приходим к противоречию.
Б. ОТ ПАРАДОКСА К ИСТИНЕ
Кто-то определил парадокс как истину, поставленную с ног на голову. Действительно, во многих парадоксах содержатся идеи, которые после незначительной модификации приводят к важным открытиям. Следующие три задачи могут служить убедительным подтверждением этого принципа.
260. Где подвох в этой истории?
Однажды инспектор Крэг посетил некую общину и побеседовал с одним из ее членов – социологом Макснурдом, который сообщил следующее:
– Члены общины организовали несколько клубов. Каждый член общины может являться членом более одного клуба. Каждый клуб получает название в честь одного из членов общины. Никакие два клуба не названы в честь одного и того же члена общины, и имя каждого члена общины носит какой-то клуб. Член общины не обязательно должен быть членом клуба, носящего его имя. Всякого, кто является членом клуба, носящего его имя, мы называем номинабельным. Всякого, кто не является членом клуба, носящего его имя, мы называем неноминабельным. Самое удивительное в нашей общине – это то, что все неноминабельные ее члены входят в один клуб.
Инспектор Крэг на миг задумался и внезапно понял, что Макснурд не очень силен в логике: в его истории концы не сходятся с концами. Почему?
Решение. В действительности эта задача представляет собой не что иное, как парадокс цирюльника в новом обличье.
Предположим, что рассказанная Макснурдом история соответствовала бы истине. Клуб, объединяющий всех неноминабельных членов общины, назван в честь какого-то члена общины, например в честь Джека. Будем называть этот клуб для краткости просто клубом Джека. Сам Джек может быть либо номинабельным, либо неноминабельным. И в том и в другом случае мы приходим к противоречию.
Предположим, что Джек номинабелен. Тогда Джек состоит в клубе Джека. Но состоять в клубе Джека могут только неноминабельные члены общины, и мы приходим к противоречию. С другой стороны, если Джек неноминабелен, то он является членом клуба неноминабельных членов общины. Значит, Джек является членом клуба Джека, объединяющего всех неноминабельных членов общины. Но тогда Джек должен быть номинабельным членом общины. Следовательно, мы и в этом случае приходим к противоречию.
261. Нет ли в общине тайного агента?
Однажды инспектор Крэг посетил другую общину, где встретил своего старого друга социолога Макснаффа. Крэг знал Макснаффа со студенческой скамьи (оба учились в Оксфорде) как человека, безукоризненно владеющего логикой. Макснафф рассказал Крэгу о своей общине следующее:
– Как и в других общинах, мы организовали у себя клубы. Имя каждого члена общины носит ровно один клуб, и каждый клуб назван в честь какого-нибудь члена общины. Каждый член нашей общины, вступая в клуб, может либо открыто заявить об этом, либо сохранить свое членство в тайне. Всякого, кто не заявил во всеуслышанье о своем членстве в клубе, носящем его имя, мы называем подозрительным. Всякого, о ком известно, что он тайно является членом клуба, носящего его имя, мы называем тайным агентом. Наша община обладает одной прелюбопытнейшей особенностью: все подозрительные являются членами одного клуба.
Инспектор Крэг после секундного размышления понял, что в отличие от предыдущей истории отчет профессора Макснаффа не содержит ни малейшего противоречия. Более того, выяснилось одно интересное обстоятельство: чисто логическим путем оказалось возможным определить, нет ли в общине тайных агентов.
Итак, нет ли в общине тайных агентов?
Решение. Клуб всех подозрительных назван в честь кого-то из членов общины, например в честь Джона. Будем называть этот клуб в дальнейшем клубом Джона.
Сам Джон либо является членом клуба Джона, либо не является. Предположим, что он не состоит. Тогда Джон не может быть подозрительным (так как всякий подозрительный член общины является членом клуба Джона). Это означает, что Джон во всеуслышанье заявил о своем членстве в клубе Джона. Следовательно, если Джон не являтся членом клуба Джона, то Джон во всеуслышанье заявляет о своем членстве в клубе Джона, и мы приходим к противоречию. Значит, Джон должен являться членом клуба Джона. А поскольку каждый член клуба Джона подозрителен, то Джон должен быть подозрительным. Значит, Джон не объявил во всеуслышанье о своем членстве в клубе Джона и в то же время является членом клуба Джона. Следовательно, Джон тайный агент, или, попросту говоря, шпик!
Заметим, что если воспользоваться решением задачи 260, то эту задачу можно решить проще. Действительно, если бы в общине не было тайных агентов, то подозрительные ничем бы не отличались от неноминабельных, поэтому множество подозрительных обладало бы всеми свойствами множества неноминабельных членов общины. Значит, все неноминабельные члены общины являлись бы членами одного клуба. Но в задаче 260 мы доказали, что все неноминабельные члены общины не могут являться членами одного клуба. Следовательно, предположение о том, что в общине нет тайных агентов, приводит к противоречию. Значит, в общине непременно должен быть тайный агент (хотя мы и не знаем, кто он).
На этих двух доказательствах отчетливо видно различие между так называемыми конструктивным и неконструктивным доказательствами. Второе доказательство неконструктивно: мы приходим к заключению, что в общине не может не быть тайных агентов, но из доказательства не следует, кто эти тайные агенты. В отличие от него первое доказательство конструктивно: оно позволяет установить, кто тайный агент (член общины по имени Джон), в честь которого назван клуб подозрительных.
262. Задача о Вселенной
В одной Вселенной члены каждого множества обитателей состоят в своем особом клубе. Регистратор этой Вселенной хотел бы присвоить каждому клубу имя одного из обитателей так, чтобы никакие два клуба не были названы в честь одного и того же обитателя Вселенной и у каждого обитателя был клуб, названный его именем.
Если бы число обитателей этой Вселенной было конечно, то регистратору не удалось бы осуществить свой грандиозный замысел, так как клубов было бы больше, чем обитателей Вселенной: например, если бы во всей Вселенной было только 5 обитателей, то число клубов достигало бы 32 (один клуб был бы пустым множеством). Если бы во всей Вселенной было 6 обитателей, то число клубов достигало бы 64, а во Вселенной с п обитателями число клубов составляло бы 2». Но в той Вселенной, о которой мы сейчас говорим, число обитателей было бесконечно, поэтому регистратор надеялся на благоприятный исход своей затеи. На протяжении миллиардов лет он день за днем упорно пытался осуществить свой замысел, но любая попытка неизменно оканчивалась неудачей. Чем это объясняется: недостаточно удачным выбором схемы или принципиальной неосуществимостью затеи?
