Мне очень нравится следующая задача. Двое людей А и В, о каждом из которых известно, что он либо лжец, либо обычный человек, высказывают утверждения:
А: По рангу я ниже, чем В.
В: Неправда!
Можно ли определить ранг А или В? Можно ли установить, истинно или ложно каждое из этих двух утверждений?
43
Трое людей А, В и С, о каждом из которых известно, что он либо рыцарь, либо лжец, либо обычный человек, высказывают следующие утверждения:
А: В по рангу выше, чем С.
В: С по рангу выше, чем А.
Затем у С спрашивают: «Кто старше по рангу – А или В?» Что ответит С?
В. ОСТРОВ БАХАВА
На острове Бахава женщины во всем пользуются равными правами с мужчинами, поэтому женщин, как и мужчин, называют рыцарями, лжецами и обычными людьми. В глубокой древности одна из правительниц острова Бахава по собственной прихоти издала указ, по которому рыцарю разрешалось вступать в брак только с лжецом, а лжецу – только с рыцарем (следовательно, нормальный человек мог вступать в брак только с обычным человеком). С тех пор в любой супружеской чете на острове Бахава либо оба супруга – обычные люди, либо один из супругов – рыцарь, а другой – лжец.
Следующие три истории происходят на острове Бахава.
44
Рассмотрим сначала супружескую чету – мистера и миссис А. Они высказывают следующие утверждения:
М и с т е р А: Моя жена – не обычный человек.
М и с с и с А: Мой муж – не обычный человек.
Кто такой мистер А и кто такая миссис А – рыцарь, лжец или обычный человек?
45
Предположим, что мистер и миссис А высказали следующие утверждения:
М и с т е р А: Моя жена – обычный человек.
М и с с и с А: Мой муж – обычный человек.
Совпадает ли ответ этой задачи с ответом предыдущей задачи?
46
В этой задаче речь пойдет о двух супружеских парах с острова Бахава: мистере и миссис А, мистере и миссис В. При опросе трое из них дали следующие показания:
М и с т е р А: Мистер В – рыцарь.
М и с с и с А: Мой муж прав: мистер В – рыцарь.
М и с с и с В: Что верно, то верно. Мой муж действительно рыцарь.
Кто каждый из этих четырех людей – рыцарь, лжец или обычный человек и какие из трех высказываний истинны?
РЕШЕНИЯ
26. Ни рыцарь, ни лжец не могут сказать: «Я лжец» (высказав подобное утверждение, рыцарь солгал бы, а лжец изрек бы истину). Следовательно, А, кем бы он ни был, не мог сказать о себе, что он лжец. Поэтому В, утверждая, будто А назвал себя лжецом, заведомо лгал. Значит, В – лжец. А так как С сказал, что В лгал, когда тот действительно лгал, то С изрек истину. Следовательно, С – рыцарь. Таким образом, В – лжец, а С – рыцарь. (Установить, кем был А, не представляется возможным.)
27. Ответ в этой задаче такой же, как в предыдущей, но ход рассуждений несколько иной.
Прежде всего заметим, что В и С не могут быть оба рыцарями или оба лжецами, так как В противоречит С. Следовательно, В и С не могут быть оба рыцарями или оба лжецами: один из них рыцарь, а другой – лжец. Если бы А был рыцарем, то всего было бы два рыцаря. Следовательно, А не лгал и сказал, что среди троих персонажей рыцарь лишь один. С другой стороны, если бы А был лжецом, то утверждение о том, что из трех островитян А, В и С рыцарь лишь один, было бы истинным. Но тогда А, будучи лжецом, не мог бы высказать это истинное утверждение. Следовательно, на вопрос незнакомца А не мог ответить: «Среди нас один рыцарь». Следовательно, В неверно передал высказывание А, из чего мы заключаем, что В – лжец, а С – рыцарь.
28. Предположим, что А – лжец. Если бы это было так, то утверждение «По крайней мере один из нас лжец» было бы ложным (так как лжецы высказывают ложные утверждения). Следовательно, в этом случае А и В были бы рыцарями. Таким образом, если бы А был лжецом, то он не был бы лжецом, что невозможно. Отсюда мы заключаем, что А не лжец, он рыцарь. Но тогда высказанное А утверждение должно быть истинным. Поэтому по крайней мере один из двух персонажей А и В в действительности лжец. Так как А – рыцарь, то лжецом должен быть В. Итак, А – рыцарь, а В – лжец.
29. Эта задача может служить неплохим введением в логику дизъюнкции. Пусть заданы два высказывания р, q. Высказывание «или р, или q» истинно, если истинно по крайней мере одно из высказываний р, q (или оба). Высказывание «или р, или q» ложно, если ложны оба высказывания р, q. Например, если бы я в хорошую погоду сказал: «Либо дождик, либо снег», то мое высказывание было бы ложным, потому что ложны обе его части: и та, в которой говорится о дожде, и та, в которой говорится о снеге.
Именно так принято понимать связку «или» в логике. Именно так мы будем понимать ее на протяжении всей нашей книги. В повседневной жизни союз «или» иногда интерпретируют так же, как в логике (то есть допускают возможность выполнения обеих альтернатив), а иногда понимают в так называемом исключительном смысле (то есть считают, что выполняется одна и только одна из альтернатив, но не обе). В качестве примера «исключительного или» приведу хотя бы такое высказывание: «Я женюсь на Бетти или на Джейн». Предполагается, что альтернативы взаимно исключающие, то есть что я не женюсь на обеих девушках одновременно. С другой стороны, если в учебной программе колледжа сказано, что студенты первого курса должны либо прослушать годовой цикл лекций по математике, либо пройти годичный курс иностранного языка, то вряд ли руководство колледжа станет возражать, если вы захотите прослушать и то и другое! Именно в этом – «включительном» – смысле мы и будем использовать логическую связку «или».
Другое важное свойство дизъюнкции «или …, или …» состоит в следующем. Рассмотрим высказывание «р или q» (так мы условимся для краткости записывать сложное высказывание «или р, или q»). Предположим, что оно истинно. Тогда если р ложно, то q должно быть истинно (так как по крайней мере одно из высказываний должно быть истинным, то если р ложно, то q должно быть истинным). Предположим, что высказывание «Либо дождик, либо снег» истинно, но неверно, что дождь идет. Тогда должно быть истинно, что идет снег.
Воспользуемся свойствами дизъюнкции и применим их к решению задачи. А высказывает сложное утверждение типа дизъюнкции: «Или я лжец, или В – рыцарь». Предположим, что А – лжец. Тогда высказанное им утверждение ложно. «Перевести» это можно так: неверно, что А – лжец и что В – рыцарь. Таким образом, если бы А был лжецом, то из этого следовало бы, что он не лжец, то есть мы пришли бы к противоречию. Отсюда мы заключаем, что А должен быть рыцарем.
Итак, мы установили, что А – рыцарь. Следовательно, его высказывание о том, что выполняется по крайней мере одна из двух альтернатив (1) А – лжец, 2) В – рыцарь), истинно. А поскольку первая альтернатива (А – лжец) ложна, то должна выполняться вторая альтернатива, то есть В – рыцарь. Таким образом, установлено, что А и В – оба рыцари.
