40. Эта задача обладает интересной особенностью. Условия ее не позволяют установить, кто из двух островитян говорит правду, не будучи рыцарем: А или В. Мы можем доказать более слабое утверждение: по крайней мере один из двух островитян А и В говорит правду, не будучи рыцарем.
Островитянин А либо говорит правду, либо не говорит правду. Докажем два утверждения: 1) если А говорит правду, то он говорит правду, не будучи рыцарем; 2) если А лжет, то В говорит правду, не будучи рыцарем.
1) Предположим, что А говорит правду. Тогда В – рыцарь и, следовательно, говорит правду. Значит, А – не рыцарь. Таким образом, если А говорит правду, то А – лицо, говорящее правду, не будучи рыцарем.
2) Предположим, что А не говорит правду. Тогда В – не рыцарь. Но В должен говорить правду, так как А не может быть рыцарем (ведь А не говорит правду). Следовательно, в этом случае В говорит правду, не будучи рыцарем.
41. Докажем, что если В говорит правду, не будучи рыцарем, и если В не говорит правду, то А лжет, не будучи лжецом.
1) Предположим, что В говорит правду. Тогда А – лжец и, следовательно, заведомо не говорит правду. Отсюда мы заключаем, что В – не рыцарь. Таким образом, в этом случае В говорит правду, не будучи рыцарем.
2) Предположим, что В не говорит правду. Тогда А не лжет. Но А заведомо лжет, когда говорит о В, так как В не может быть рыцарем, если он не говорит правду. Таким образом, в этом случае А лжет, не будучи лжецом.
42. Прежде всего заметим, что А не может быть рыцарем, так как если бы А был рыцарем, то его высказывание было бы ложным (рыцарь как особа высшего ранга не может быть по рангу ниже В). Предположим, что А – лжец. Тогда его высказывание ложно. Следовательно, А по рангу не может быть ниже, чем В. Значит, В также должен быть лжецом (так как если бы В не был лжецом, то А был бы особой более высокого ранга, чем В). Но это невозможно, так как высказывание В противоположно высказыванию А, а два противоположных высказывания не могут быть истинными одновременно. Следовательно, предположение, что А – лжец, приводит к противоречию. Значит, А не лжец, но тогда А должен быть обычным человеком.
А что можно сказать о В? Если бы он был рыцарем, то А (будучи обычным человеком) был бы особой более низкого ранга, чем В. Тогда высказывание А было бы истинным, из чего следовало бы, что высказывание В ложно. Таким образом, рыцарь высказал бы ложное утверждение, что невозможно. Значит, В не рыцарь. Предположим, что В был бы лжецом. Тогда высказывание А было бы ложным, из чего следовало бы, что высказывание В истинно. Таким образом, лжец высказал бы истинное утверждение, что невозможно. Следовательно, В не может быть не только рыцарем, но и лжецом. Значит, В – обычный человек.
Итак, А и В – обычные люди. Высказывание А ложно, высказывание В истинно. Тем самым задача полностью решена.
43. Первый шаг. Прежде всего докажем, что в силу высказывания А островитянин С не может быть обычным человеком. Действительно, если А – рыцарь, то В – особа более высокого ранга, чем С. Следовательно, В должен быть обычным человеком, а С – лжецом. Таким образом, в этом случае С – не обычный человек. Предположим, что А – лжец. Тогда В по рангу не выше С. Следовательно, В – особа более низкого ранга, поэтому В должен быть обычным человеком, а С – рыцарем. Таким образом, и в этом случае С – не обычный человек. Предположим, наконец, что А – обычный человек. Тогда С – заведомо не обычный человек (так как из трех островитян А, В и С только один – обычный человек). Итак, С – не обычный человек.
Второй шаг. При аналогичных рассуждениях из высказывания В можно вывести, что А – не обычный человек. Таким образом, ни А, ни С не обычны. Следовательно, В – обычный человек.
Третий шаг. Поскольку С – не обычный человек, то он может быть рыцарем или лжецом. Предположим, что он рыцарь. Тогда А – лжец (так как В – обычный человек). Следовательно, В – особа более высокого ранга, чем А, и С, будучи рыцарем, даст правдивый ответ: «В по рангу выше А». С другой стороны, предположим, что С – лжец. Тогда А должен быть рыцарем, поэтому В по рангу не выше А. В этом случае С, будучи лжецом, солгал бы и ответил так: «В по рангу выше А». Таким образом, независимо от того, кто такой островитянин С – рыцарь или лжец, он ответит, что В по рангу выше А.
44. Мистер А не может быть лжецом, так как тогда его жена была бы рыцарем и, следовательно, не могла бы быть обычным человеком, а это означало бы, что высказывание мистера А было бы истинно. По аналогичной причине миссис А не может быть и лжецом. Следовательно, ни мистер А, ни миссис А не могут быть и рыцарями (в противном случае второй супруг был бы лжецом). Значит, мистер А и миссис А – обычные люди (и оба лгут).
45. Совпадает. Почему?
46. Оказывается, что все четверо – обычные люди, а все три высказывания ложны.
Прежде всего заметим, что миссис В должна быть обычным человеком, так как если бы она была рыцарем, то ее муж был бы лжецом и, назвав его рыцарем, она солгала бы. Если бы миссис В была лжецом, то ее муж был бы рыцарем, но тогда ее высказывание о своем муже было бы истинным. Следовательно, миссис В – обычный человек, тогда мистер В также обычный человек. Это означает, что мистер А и миссис А оба лгали. Отсюда мы заключаем, что ни один из супругов А не рыцарь и что они не могут быть и лжецами. Следовательно, супруги А – обычные люди.
IV. Алиса в Лесу Забывчивости
А. ЛЕВ И ЕДИНОРОГ
Когда Алиса вошла в Лес Забывчивости, она забыла не все, а лишь кое-что. Она часто забывала, как ее зовут, но особенно легко ей удавалось забывать дни недели. Лев и Единорог частенько наведывались в Лес Забывчивости. Странные это были существа. Лев лгал по понедельникам, вторникам и средам и говорил правду во все остальные дни недели. Единорог же вел себя иначе: он лгал по четвергам, пятницам и субботам и говорил правду во все остальные дни недели.
47
Однажды Алиса повстречала Льва и Единорога, отдыхавших под деревом. Те высказали следующие утверждения:
Л е в. Вчера был один из дней, когда я лгу.
Е д и н о р о г. Вчера был один из дней, когда я тоже лгу.
Из этих двух высказываний Алиса (девочка очень умная) сумела вывести, какой день недели был вчера. Что это был за день?
48
В другой раз Алиса повстречала одного Льва. Он высказал два утверждения:
1) Я лгал вчера.
2) После завтрашнего дня я буду лгать два дня подряд.
В какой день недели Алиса встретила Льва?
49
В какие дни недели Лев может высказать следующие утверждения:
1) Я лгал вчера.
2) Я буду лгать завтра.
50
В какие дни недели Лев может высказать следующее единое утверждение: «Я лгал вчера, и я буду лгать завтра». Предостережение! Ответ этой задачи не совпадает с ответом предыдущей задачи.
