Воздух в комнате состоит из бесконечного количества частиц, которые обмениваются кинетической энергией. Так представлял происходящее Больцман. Чтобы упростить свой анализ, он применил математическую хитрость. Он разделил количество кинетической энергии, которую переносит одна частица, на целочисленные единицы. Таким образом, у него получилось, что частица может двигаться с 1, или 6, или 35 единицами кинетической энергии, но никогда не движется с 2,3, или 5,78, или другим нецелым числом единиц.
Это упростило расчеты Больцмана и обеспечило реалистичное описание молекулярного переноса энергии. Кроме того, эта техника дала способ визуализации поведения молекул. Чтобы понять почему, представьте, что вместо большого количества молекул воздуха, движущихся с разным количеством единиц энергии, перед вами толпа толкающихся людей, в карманах у которых лежит разное число монет. Каждый человек в толпе идет в случайном направлении, но успевает сделать лишь один-два шага, а затем сталкивается с другим человеком. В такой аналогии быстрой молекуле с большим числом единиц энергии соответствует человек с большим количеством монет, а медленной — человек с небольшим количеством монет. Следовательно, горячую духовку в прохладной комнате можно представить как небольшую группу богачей, которые столпились в углу просторного зала, полного гораздо более бедных людей.
Если продолжить аналогию, то эквивалентом температуры каждой из двух групп будет среднее состояние ее членов. В каждой группе есть люди богаче и беднее среднего, подобно тому как в газах двух разных температур есть частицы, которые движутся быстрее и медленнее среднего. Быстрой молекуле, которая сталкивается с медленной и теряет часть энергии, соответствует богач, налетающий на бедняка и передающий ему часть своих монет, в результате чего богач становится беднее, а бедняк — богаче. Держа в уме эти правила, следите за деньгами.
Сначала беднее становятся лишь богачи, стоящие на краю своей группы, потому что им проще всего налететь на окружающих их бедняков. Благодаря тем же столкновениям бедняки на краю своей группы становятся немного богаче. Столкновений происходит слишком много, и уследить за всеми невозможно, но при этом можно предсказать, как распределение монет в толпе изменится со временем.
Рано или поздно передача денег, которая сначала происходит главным образом на границе между богачами и бедняками, охватит большее пространство. Стоящие дальше от края группы богачи тоже начнут терять деньги, поскольку их соседи на границе станут не такими богатыми, как раньше. Подобным образом бедняки с границы быстро потеряют нажитое, сталкиваясь с соседями из “бедной глубинки”. Вскоре все деньги, которые были сосредоточены в руках богачей, разделят между собой бедняки.
Чтобы закрепить результаты мысленного эксперимента, уменьшите количество участвующих в процессе людей. Пусть в комнате будет 12 человек. У группы из шести человек слева в кармане лежит по одной монете, в то время как у группы из шести человек справа нет ничего. Сделайте пример еще проще: пусть каждый человек может владеть лишь одной монетой в любой заданный момент времени. Монеты случайным образом перемещаются по комнате, когда люди обмениваются ими друг с другом или передают их соседям, которые не имеют монет.
Как монеты будут распределены в итоге?
Для ответа на этот вопрос посчитайте количество способов распределения монет, которые не отличаются друг от друга. В нашем примере все распределения с шестью монетами слева и нулем монет справа выглядят одинаково, потому что монеты идентичны. Что насчет распределений, в которых слева находится пять монет, а справа — одна? Они не идентичны, но похожи друг на друга. Подобным образом друг друга напоминают все распределения, в которых слева находится четыре монеты, а справа — две. И так далее.
Теперь спросите, сколько существует способов распределения шести монет между стоящими слева людьми? Их довольно много. Первый человек может держать любую из шести монет, второй — любую из пяти и так далее. Получается, что общее число способов распределения всех монет слева составляет 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1, что равняется 720.
Сколько существует способов распределения пяти монет слева и одной справа? Число существенно больше: 4320.
А четырех слева и двух справа? 10 800.
Трех слева и трех справа? 14 400. Способов добиться равного распределения больше, чем любого другого.
Двух слева и четырех справа? 10 800.
Одной слева и пяти справа? 4320.
Нуля слева и шести справа? 720.
Даже при небольшом количестве монет равномерных распределений — например, с четырьмя монетами слева и двумя справа, тремя слева и тремя справа, а также двумя слева и четырьмя справа — больше, чем неравномерных. Если взглянуть на комнату после тысячи случайных обменов монетами, шанс увидеть три монеты в левой части комнаты и три — в правой составит 31 %. Шанс того, что все монеты окажутся слева, напротив, составляет всего 1,5 %. Если в исходной системе все монеты находятся слева, со временем деньги, как правило, распределяются по всей комнате.
Распределение слева в 20 раз менее вероятно, чем распределение справа, где в каждой части комнаты находится одинаковое количество монет
Когда числа больше, этот эффект становится более выраженным. Пусть в комнате находится 100 человек и 50 монет, которые могут перемещаться между ними. Количество равномерных и почти равномерных распределений монет превосходит количество неравномерных распределений в 70 миллиардов раз.
Обратите внимание, что само по себе каждое распределение — хоть равномерное, хоть неравномерное — весьма маловероятно. Однако, поскольку многие триллионы равномерных распределений неотличимы друг от друга, монеты почти наверняка оказываются в одном из них.
При большем количестве монет неравномерных распределений, таких как слева, гораздо меньше, чем равномерных, таких как справа
Больцман применил такую же логику к рассеянию теплоты. Единственное отличие в том, что в этом случае не люди обмениваются монетами, а молекулы переносят кинетическую энергию.
По сути, Больцман показал, что неотличимых друг от друга способов распределения малых количеств энергетических единиц по кухне гораздо больше, чем способов концентрации больших количеств энергетических единиц у малого числа молекул. Любая система, которая в исходном состоянии содержит распределение необычного или редкого типа, — например, комната, где большая часть теплоты сконцентрирована в духовке, — в конце концов приходит к более типичному распределению, то есть к рассеянию теплоты.
