Дискретные множества, такие как рукопожатия или, например, стаи животных, состоят только из целых чисел – в отличие от воды или высоты деревьев, которые можно измерить в числах с дробями. Ученикам поначалу бывает сложно разобраться в этих «тонкостях». Но занявшись таким нехитрым делом, как обмен рукопожатиями в танце, они на самом деле решают задачу из области дискретной математики, а точнее – из комбинаторики, раздела математики, изучающего дискретные объекты и множества и их сочетания. Физические ощущения помогают ученикам понять абстрактные математические термины – в данном случае смысл выражения «дискретное множество».
Разобравшись с термином «сочетание объектов» и с тем, как проверяются все возможные комбинации, школьники тем самым осваивают сложное математическое понятие, с которым будут сталкиваться до конца своего обучения в колледже. Рассмотрим следующие алгебраические задачи для средней школы:
У Джона есть две рубашки и три пары брюк. Сколько у него есть возможных комплектов одежды?
Ответ: 2 × 3 = 6 возможных комплектов (поскольку Джон не нудист и всегда надевает и рубашку, и брюки).
У Салли в автомобиле есть CD-проигрыватель на шесть дисков. Всего у нее 100 дисков. Сколько возможных комбинаций загрузки плеера она может составить?
Ответ: при загрузке первого диска она может выбирать из 100 CD; для второго – из 99, для третьего – из 98; для четвертого – из 97; для пятого – из 96; для шестого – из 95. Итак: 100 × 99 × 98 × 97 × 96 × 95 = 858 277 728 000 (если Салли не передумает и продолжит заряжать по шесть дисков за раз).
Ученики, имевшие возможность физически «прочувствовать», что означает понятие «дискретное множество», оказываются лучше подготовленными к встрече с этими задачами. Им проще связать их с собственным опытом и примерить на себя различные возможные комбинации, чтобы определить, насколько правильно выведенное ими алгебраическое уравнение. Подобно третьеклассникам из эксперимента Гленберга, которые отсчитывали определенное количество рыбок для каждого животного из задачи про зоопарк, ученики средних классов, поняв, что такое «дискретный» и что количество возможных комбинаций ограничено, сумеют привязать значение абстрактных понятий из алгебры к чему-то конкретному.
В другом упражнении из «Математического танца» ученики встают попарно и десять раз подбрасывают вверх монетку. От того, что выпадет – орел или решка, зависит, кто из пары будет выполнять движение. Но прежде чем начать подбрасывать монетку, они составляют прогноз, кому сколько раз придется двигаться. До начала упражнения большинство учеников предполагают, что каждый из них будет делать свое движение примерно столько же раз, сколько и напарник. Но вскоре они понимают, что в реальности все обстоит несколько иначе. Что пятидесятипроцентная вероятность выпадения орла или решки не означает, что все получится именно так, по крайней мере, до тех пор, пока ты не сделаешь несколько тысяч итераций, то есть повторов. Дети убеждаются: чем больше раз они будут подбрасывать монетку, тем ближе к 50 процентам будут подбираться, а это ключевой момент для понимания теории вероятности.
И наверное, самое удивительное в «Математическом танце» то, что само по себе движение имеет большое значение. Танцевать и одновременно подбрасывать монетку – важное условие урока на тему закона вероятности, который преподносят Шеффер и Стерн, потому что в процессе движения мы, как правило, запоминаем идеи и концепции лучше, чем когда стоим на месте.
Люди, занимающиеся танцем, давно заметили, что тело – надежный помощник памяти. Когда артисты балета разучивают новый хореографический этюд, они физически проигрывают движения в заданной последовательности, чтобы лучше запомнить шаги. И когда их просят воспроизвести разученное, они, как правило, склонны восстанавливать в памяти танцевальные движения порциями, на основе определенной последовательности положений, которые занимает тело. Они используют свое тело как запоминающее устройство, помогающее им организовывать свои шаги, а впоследствии и воспроизводить их. Точно так же и движения, связанные с математическими понятиями, помогают ученикам «проиграть» ту или иную задачу, «прочувствовать», как отдельные понятия связаны между собой, в результате чего им бывает легче загрузить их в свою память.
Но не только танцоры понимают связь между телом и разумом – она очевидна для всех, у кого физическое движение составляет часть профессии. Все выдающиеся спортсмены – от фигуристов и гимнастов до прыгунов в воду – знают, что изумительные фигуры, которые они демонстрируют, основываются на принципах математики и физики. Возьмем, к примеру, британского прыгуна в воду Томаса Дейли. Он покорил мировую сцену прыжков в воду своим ошеломительным выступлением на Играх содружества в Дели в 2010 году, на которых завоевал две золотые медали, а также мальчишеским задором, обаянием и привлекательной внешностью. Ожидалось, что на Олимпийских играх в Лондоне он повторит свой успех. Однако существовал и значительный риск, что к тому моменту он сильно вырастет – ведь Тому было всего 16 лет. «Мой рост – 1,72 метра. Если я вырасту еще на 5 сантиметров, могут начаться проблемы, – сообщил он журналисту BBC после своего блестящего выступления в Индии. – Когда ты слишком высокий, то крутишься медленнее и просто не успеваешь сделать все вращения до погружения в воду. Остается только пальцы скрестить и надеяться, что я не вытянусь так уж сильно»
{72}.
К моменту начала Олимпийских игр 2012 года Том вырос на четыре сантиметра, до 1,76 метра. К счастью, эффектный последний прыжок спортсмена обеспечил ему место на пьедестале: с Игр он ушел завоевателем бронзовой медали и любви домашней публики. Дэвид Бекхэм прислал ему СМС с поздравлениями, а премьер-министр Дэвид Кэмерон лично зашел проведать прыгуна
{73}. Но дорога к победе была нелегкой. За эти два года Тому пришлось освоить еще несколько видов прыжков, чтобы быть уверенным в том, что, несмотря на свой рост, он сможет выполнять множественные вращения так, чтобы они получили наивысшие оценки за сложность. Несомненно, его тренеры, да и он сам, хорошо понимали: при подготовке новой программы самое веское слово будет за физикой.
Знание законов физики помогает спортсменам понимать, как лучше всего двигаться и вращаться. Но существует и обратная связь: то, как мы двигаемся, также может помочь нам лучше разбираться в математике и естественных науках.
* * *
Сьюзен Фишер, преподаватель физики в Университете Де Поля в Чикаго, читала лекцию на тему «Момент инерции». Чего только она не делала, чтобы привлечь внимание студентов, но все было тщетно. В Чикаго наступила золотая осень, что означало: снег и холода не за горами. Жители этого города искренне дорожат последними теплыми деньками. Вот и студенты постоянно отвлекались от того, что говорит преподаватель, и переводили взгляд на два больших панорамных окна аудитории по левую сторону от кафедры, через которые струился солнечный свет. Со своего места в последнем ряду я могла видеть, что некоторые студенты параллельно проверяют электронную почту или гуляют в дебрях интернета. Девушка, сидевшая прямо передо мной, даже оформляла покупку сапог на Zappos.com. И тут вдруг Фишер вывела на экран следующий кадр презентации – с контрольным вопросом. Студенты переглянулись. У всех на лицах читался испуг. Даже ценительница сапог замерла.
