Чтобы выяснить, как обстоят у младенцев дела с «вычитанием», исследование проводилось в обратном порядке: вначале показывали две куклы, затем одну убирали. Опять-таки явное удивление при виде «невозможного условия», выражаемое малышом, указывало на рудиментарное понимание вычитания.
Теперь понятно, откуда у исследователей и в новостных заголовках взялась идея о том, что младенцы могут складывать и вычитать. Малыши явно смыслили кое-что в числах – или, по крайней мере, как-то оценивали количество предметов, которые им показывали. Они даже понимали, каким образом это количество можно изменить. Однако прежде чем приходить в неистовый восторг, подумайте о том, что макаки-резус демонстрировали точно такие же способности, когда им показывали аналогичные невозможные условия на примере баклажанов (разумеется, макак больше интересуют баклажаны, чем куклы, изображающие Микки Мауса).
А теперь мы должны задаться вопросом, действительно ли такая реакция является результатом мысленных операций сложения и вычитания, как мы их понимаем. Оказывается, ответить на этот вопрос не так-то просто.
И тут на сцене появляется Джанеллен Гуттенлохер, профессор отделения психологии из Чикагского университета. Она и ее коллеги изучали малышей от 2 до 4 лет, чтобы определить, насколько хорошо они умеют складывать и вычитать. Исследователи, разумеется, не показывают детям развивающие карточки с написанными на них примерами. Они используют то, что дети способны ухватить буквально: трехмерные предметы, которые можно держать в руках и манипулировать ими. Один из исследователей наблюдает, сумеет ли Аманда, возраст которой 2,5 года, сложить 3 и 1. Аманда сидит напротив экспериментатора, который показывает ей 3 красных кубика. Аманда внимательно наблюдает за его действиями, а он в это время накрывает кубики большой коробкой. Чтобы убедиться в том, что Аманда понимает суть игры, ее просят показать экспериментатору с помощью второго набора кубиков, сколько кубиков спрятано под коробкой. Аманда с удовольствием исполняет просьбу. Она кладет в ряд 3 кубика на своей стороне стола. Не убирая коробку, экспериментатор добавляет к трем еще один кубик – он прячет его под коробку, одновременно спрашивая Аманду: «Можешь теперь сделать так, чтобы у тебя было столько же кубиков, сколько и у меня?» Все, что нужно сделать Аманде, – это взять еще один кубик и положить его в общий ряд, чтобы их стало 4. Удается ли ей это? Не с первого раза. Она берет два кубика вместо одного. В свои 2,5 года она еще не умеет решать подобные задачи так, чтобы всякий раз получать правильный результат. В течение следующего года жизни она научится решать примеры с небольшими числами, например 1+1=2 или 3–1=2. А к концу четвертого года даже сможет управляться с числами побольше, например 2+2+4.
Вы в некотором недоумении? Еще бы! Почему 5-месячный ребенок успешно проходит тест с Микки Маусом в лаборатории профессора Винн, а потом «проваливает» точно такой же тест в лаборатории профессора Гуттенлохер, когда ему уже стукнуло 2,5 года? Дело в том, что малыши обладают лишь рудиментарным навыком обращения с числами – чувствительностью к количеству. Их сознанию еще недоступен тот вид математики, который мы имеем в виду, когда говорим о сложении и вычитании. Реакции малыша Деррика в 5 месяцев действительно впечатляют. Но некоторые ученые считают, что на самом деле Деррик всего лишь распознает количество, «больше или меньше», а не конкретные числа, типа «2 предмета» или «4 предмета». Эта способность придет к нему только с возрастом.
Чувствительность к количеству – еще не математика
Современные стандарты предполагают, что 3–4-летние дети должны быть способны считать до 10 и знать названия чисел. Хотя это, безусловно, важные навыки, они представляют собой только вершину математического айсберга и не могут считаться отражением естественно развивающихся вычислительных способностей детей. Действительно ли ребенок, который умеет считать до десяти, знает математику?
Ставшая известной на рубеже столетий история о математическом «гении» Умном Гансе помогает понять эту проблему. Умный Ганс – это конь, тренер которого утверждал, что его подопечный умеет складывать, вычитать, умножать и делить. Когда коню задавали математическую задачку, например спрашивали: «Ганс, сколько будет два плюс два?», конь отстукивал верный ответ передним копытом. Правда открылась только тогда, когда психолог Оскар Пфунгст надел Гансу на глаза повязку. Перестав видеть своего тренера, Ганс не смог получить правильный ответ. Пфунгст определил, что Ганс не производил математические вычисления, а читал невербальные сигналы, подаваемые его владельцем. Владелец подавался вперед, задавая вопрос, и постепенно отклонялся назад, пока конь отстукивал ответ. Когда Ганс добирался до нужного числа, его владелец выпрямлялся, как бы говоря: «Верно». Умный Ганс действительно был умником – только в социальном смысле. Но он совершенно ничего не знал о математике.
Есть мнение, что сама природа запрограммировала детей на изучение математики.
Какие выводы история Умного Ганса позволяет нам сделать в отношении способностей детей? Она говорит о том, что дети могут подходить к задаче не так, как мы, вне зависимости от того, дают ли они правильный ответ. Дети находят еще более остроумные способы для решения задач, которые мы перед ними ставим, чем Умный Ганс. Часто у них блестяще получается запоминать различные смысловые цепочки – названия машин, частей тела, букв алфавита («икалэмэнэ» часто произносятся слитно, как название одной буквы) и – да, даже чисел!
По этой самой причине умение отбарабанить числовой ряд не обязательно означает, что ребенок хоть что-то смыслит в математике. В действительности, даже если ребенок знает, что под коробкой спрятано 3 предмета, это еще не говорит о том, что он представляет себе, что 3 больше 2, но меньше 4. Вполне вероятно, что ребенок запомнил, что «три» – это «название» для трех вещей, точно так же как «синий» – это название определенного цвета. Именно так и работают развивающие карточки. Дети учатся выдавать правильный ответ, видя 2 кружка на карточке, но это совершенно не означает, что они понимают, что такое «два».
Из сказанного вы можете сделать вывод, что математические способности детей поверхностны и неглубоки. Хотя это действительно так, если детей искусственно подталкивают к определенной реакции на определенные команды, дело не только в этом. Ученые очень мало знают о ранних математических навыках детей – вплоть до того момента, пока те не пойдут в школу. Одним из наиболее важных открытий является то, что фундамент для всего математического обучения закладывается в младенчестве и раннем детстве, и развивается одинаково он у всех детей во всем мире, вне зависимости от того, кто их родители. Честно говоря, мы полагаем, что сама природа запрограммировала детей на изучение математики.
В конце концов, трудно даже представить себе, каким образом мы могли бы наткнуться на существование чисел в нашем мире, если бы к этому нас не подготовила матушка-природа. Числа присутствуют повсюду – и одновременно нигде. Они абстрактны и воплощены в физических предметах, но физически нигде не присутствуют. Учитывая, как важно понимать и оценивать количество пищи, количество потенциальных врагов и сторонников, это просто здорово, что эволюция дала нам возможность интуитивно различать количество и число в нашем повседневном мире.
