К любому числу можно добавить единицу, и вы получите число, которое будет (не намного, но отличимо) больше его.
Счет может остановиться, только если у вас закончится воздух в легких, но оно не может остановиться из-за того, что закончатся числа. Хотя у бессмертного (или почти бессмертного), пожалуй, могут закончиться вселенные, в которых он попытается записать числа, или время, чтобы их произнести.
Если коротко, множество чисел бесконечно.
Замечательнее всего в этом утверждении то, что оно не подразумевает существования числа под названием «бесконечность», которое больше любого другого числа. Совсем наоборот: вся суть в том, что такого числа, которое было бы больше любого другого, не существует. И хотя счет вы в принципе можете вести бесконечно, при каждом отдельном шаге вы достигаете конечных чисел. «Конечный» здесь означает, что до него можно досчитать и окончить счет.
Как сказали бы философы, счет – это образец потенциальной бесконечности. Это процесс, который может длиться вечно (или, по крайней мере, так кажется нашему наивному разуму, воспринимающему образы), но никогда этой «вечности» не достигает.
Развитие новых математических идей обычно следует некоторым закономерностям. Если бы математики строили дом, они бы начали со стен первого этажа, подвесив их в воздухе в футе над гидроизоляционным слоем… или тем уровнем, где он должен находиться. В доме не будет ни окон, ни дверей, только проемы соответствующего размера. Ко времени пристройки второго этажа качество кладки заметно улучшится, внутренние поверхности стен будут оштукатурены, двери и окна займут свои места, а пол станет достаточно прочным, чтобы по нему можно было ходить. Третий этаж будет просторным и совершенным, весь устланный коврами, заставленный огромным количеством мебели с интересным, но неподходящим дизайном, и с шестью видами обоев в каждой комнате… Чердак, наоборот, – скромным, но элегантным – минималистичный дизайн, ничего лишнего и все по делу. Тогда – и только тогда – они спустятся на нулевую отметку, чтобы выкопать фундамент, залить его бетоном, сделать гидроизоляцию и продлить стены вниз, пока те не встретятся с основанием.
В итоге получится вполне устойчивый дом. Но в процессе строительства бóльшую часть времени он будет выглядеть как нечто неправдоподобное. Но строители, увлеченные возведением стен к небесам и внутренним оформлением комнат, будут слишком заняты, чтобы это заметить, пока инспектора по строительству не ткнут их носом в недостатки конструкции.
Когда вспыхивает новая математическая идея, никто не может ее как следует понять – и это естественно, раз уж она новая. И никто особо не старается разобраться во всех логических тонкостях и понять ее смысл, пока не убедится, что она того стоит. Поэтому основной упор делается на том, что исследователи развивают эти идеи и смотрят, приведут ли они к чему-нибудь интересному. У математиков понятие «интересного», как правило, сопряжено с ответом на вопрос: «Смогу ли я развить ее дальше?» – но решающее значение имеет другой: «Какие проблемы она поможет решить?». Лишь получив на них удовлетворительные ответы, несколько дерзких и придирчивых душ спускаются в подвал и добавляют подобающий фундамент.
Математики применяли бесконечность задолго до того, как поняли, что это такое или как с ней правильно обращаться. В 500 году до н. э. Архимед, величайший греческий математик и серьезный претендент на место в тройке лучших математиков всех времен, вычислил объем сферы путем ее (мысленного) деления на бесконечное множество бесконечно тонких дисков – наподобие тончайше нарезанной буханки хлеба, – и их уравновешивания для сравнения их общего объема с объемом соответствующей фигуры, объем которой был известен ему заранее. Получив ответ благодаря этому поразительному методу, он посчитал по новой и обнаружил, как ему можно должным образом доказать свою правоту. Но без всей этой возни с бесконечностью он не знал бы даже, с чего начать, а его логичное доказательство не сдвинулось бы и с места.
Во времена Леонарда Эйлера – столь плодовитого деятеля, что его можно было бы назвать Терри Пратчеттом математики XVIII века, – многие из ведущих ученых увлекались «бесконечными рядами» – ставшими потом кошмарами школьников в виде сумм, не имеющих конца. Вот, например:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …
где «…» означает «и так далее». Математики заключили, что если эта бесконечная сумма и складывается во что-нибудь разумное, то это просто число два
[46]. Если вы остановитесь в любой определенный момент, то у вас получится чуть-чуть меньше двух. При этом разница между двумя и вашим числом с каждым шагом будет уменьшаться. Сумма как бы подкрадывается к правильному ответу, но не добирает до нее, а вот недостающее число можно уменьшать столько, сколько хотите, добавляя новые слагаемые.
Ничего не напоминает? Это выглядит подозрительно похожим на один из парадоксов Зенона Элейского/Эфебского. Ведь именно таким образом стрела приближается к жертве, а Ахиллес – к черепахе. Именно так можно совершить бесконечно много дел за конечный промежуток времени. Сделайте одно дело, через минуту сделайте второе, третье сделайте через полминуты, четвертое – через четверть минуты… и так далее. Спустя две минуты вы уже переделаете бесконечное множество дел.
Понимание того, что бесконечные суммы могут иметь осмысленное значение, – это только начало. Но оно еще не избавляет нас от всех парадоксов. Более того, в основном это их обостряет. Математики пришли к выводу, что бесконечности могут быть как безвредными, так и наоборот.
После такого блестящего озарения остался лишь один вопрос: как их различить? Ответ таков: если ваше понимание бесконечности не ведет к логическим противоречиям, значит, она безопасна, и если же ведет – то нет. Ваша задача – дать подходящее определение тому, чем вас интересует «бесконечность». Нельзя просто принять, что она имеет смысл по умолчанию.
В течение XVIII и начала XIX столетия математики вывели много понятий «бесконечности» – и все они были потенциальными. В проективной геометрии «бесконечно удаленной точкой» называют ту, что находится на пересечении двух параллельных линий, которые уходят вдаль, как железнодорожные пути, и будто встречаются на горизонте. Но если поезд движется по плоскости, горизонт оказывается бесконечно далеким и вообще не лежит в плоскости – это зрительный обман. То есть бесконечно удаленные точки определяются процессом бесконечного перемещения по железнодорожным путям. Поезд никогда ее не достигает. В алгебраической геометрии окружность определена как «коническое сечение, проходящее через две воображаемые бесконечно удаленные циклические точки» – это можно легко воспроизвести с помощью пары циркулей.
Математики пришли к единому мнению, и вот к чему оно сводилось. Используя термин «бесконечность», вы всегда подразумеваете процесс. Если он приводит к точно определенному результату, как бы запутанно вы бы его ни объяснили, этот результат придает тот смысл, который вы вкладываете в слово «бесконечность» в данном контексте.
