Бесконечность – это контекстозависимый процесс. Она потенциальна.
Но дальше так продолжаться не могло.
Давид Гильберт был одним из двух лучших математиков планеты в конце XIX века и одним из великих энтузиастов нового подхода к бесконечности, в котором – в отличие от описанного нами ранее – она рассматривалась не как процесс, а как объект. Этот новый подход был детищем Георга Кантора, немецкого математика, чья работа завела его на территорию, чреватую своими логическими ловушками. Почти целое столетие вся эта область пребывала в полном беспорядке (что, впрочем, отнюдь не являлось редкостью). В конце концов он решил покончить с этим раз и навсегда, вырыв яму для еще не существующего основания, а не начав с возведения стен. Он был не единственным, кто это предпринимал, зато оказался одним из самых радикальных из всех. Ему удалось разобраться в этой области, но только создав при этом новые проблемы в других.
Многие математики ненавидели идеи Кантора, но Гильберту они нравились, и он их рьяно защищал. «Никто, – заявлял он, – не изгонит нас из рая, созданного Кантором». Хотя, сказать по правде, это был не столько рай, сколько парадокс. Гильберт объяснил некоторые свойства парадокса бесконечности по Кантору с помощью вымышленного отеля, получившего известность как отель Гильберта.
В этом отеле бесконечно много номеров. Они пронумерованы: 1, 2, 3, 4 и далее до бесконечности. Здесь мы видим образец актуальной бесконечности: все его номера существуют уже сейчас, и никто не достраивает nn-сиксиллиарднопервый номер. Но когда вы приезжаете в него воскресным утром, все номера оказываются занятыми.
В отеле с конечным числом номеров – будь там хоть nn-сиксиллиардов один номер – вы бы попали в засаду. Никакие переселения постояльцев не позволят освободить лишнюю комнату. (Для простоты условимся на том, что подселения в занятые номера здесь исключены: в каждом номере живет по одному постояльцу, не больше – иначе нарушаются санитарные правила).
Однако в отеле Гильберта всегда найдется место для неожиданного гостя. Конечно, не в комнате номер бесконечность – ведь такого номера не бывает. В комнате номер один.
Но что делать с беднягой, занимавшим первый номер? Его можно переселить во второй. Того, кто во втором, – в третий. И так далее. Постояльца из nn-сиксиллиардного номера в nn-сиксиллиарднопервый. А из nn-сиксиллиарднопервого – в nn-сиксиллиардновторой.
В каждом из случаев постоялец из номера n переселяется в номер n+1.
В отеле с конечным числом номеров – nn-сиксиллиардами одной комнатой – это мероприятие столкнется с препятствием. В нем нет nn-сиксиллиардновторого номера, чтобы поселить туда постояльца из предыдущей комнаты. А в отеле Гильберта они не заканчиваются, и каждого можно переселить в следующую. Как только все это будет проделано, отель снова будет забит до отказа.
Но это еще не все. В понедельник к заполненному отелю Гильберта подъезжает автобус с 50 людьми. Да пожалуйста. Управляющий переселяет всех на 50 номеров вперед: из 1-го в 51-й, из 2-го в 52-й и так далее. И номера с 1-го по 50-й освобождаются для группы из автобуса.
Во вторник прибывает автобус компании «Бесконечные туры» с бесконечным числом туристов, для упрощения пронумерованных A1, A2, A3… Для них-то наверняка мест не будет? Как бы не так! Прежних постояльцев переселяют в четные номера: из 1-го во 2-й, из 2-го в 4-й, из 3-го в 6-й и так далее. Нечетные номера освобождаются, и турист A1 заселяется в 1-й номер, A2 – в 3-й, A3 – в 5-й… Все просто.
В среду управляющий рвет на себе волосы, когда прибывает бесконечное множество автобусов из «Бесконечных туров». Сами автобусы обозначены буквами бесконечного алфавита: A, B, C… А прибывшие в них туристы – A1, A2, A3…, B1, B2, B3…, C1, C2, C3… и так далее. И тут управляющего посещает гениальная мысль. В бесконечно большом углу бесконечно большой парковки он группирует всех новоприбывших в бесконечно большой квадрат:
A1 A2 A3 A4 A5…
B1 B2 B3 B4 B5…
C1 C2 C3 C4 C5…
D1 D2 D3 D4 D5…
E1 E2 E3 E4 E5…
…
А затем выстраивает в одну бесконечно длинную линию в порядке:
A1 – A2 B1 – A3 B2 C1 – A4 B3 C2 D1 – A5
B4 C3 D2 E1 …
(Чтобы понять закономерность, посмотрите на последовательность диагоналей, тянущихся из верхнего правого угла в нижний левый. Чтобы разделить их, мы вставили дефисы.) Большинство людей сейчас переселило бы прежних постояльцев в четные номера и заполнило бы нечетные новоприбывшими в порядке бесконечно длинной очереди. Это возможно, но есть более красивый способ, и управляющий, будучи математиком, сразу же его находит. Он загружает всех в один автобус, рассаживая туристов в порядке бесконечно длинной очереди. Таким образом он сводит задачу до предыдущей, которую мы уже решили
[47].
Отель Гильберта приучает нас быть осторожными, когда мы делаем предположения о бесконечности. Она может вести себя не так, как обычные конечные числа. Если добавить к ней единицу, она не станет больше. Если умножить бесконечность на бесконечность, она все равно не станет больше. Вот такая она, бесконечность. Можно даже сказать, что любая сумма, включающая бесконечность, становится бесконечной, потому получить что-либо большее, чем бесконечность, нельзя.
Так все и думали – но это справедливо только для потенциальных бесконечностей в виде последовательностей конечного числа шагов, которые теоретически могут продолжаться сколько угодно. Однако в 1880 году Кантор задумался об актуальных бесконечностях и открыл настоящий ящик Пандоры с еще бóльшими бесконечностями. Он назвал их трансфинитными числами, столкнувшись с ними, когда работал в традиционной и даже священной области математического анализа. Это и вправду была трудная техническая задача, и она вывела его на незнакомую дорогу. Глубоко погрузившись в природу этих вещей, Кантор отвлекся от своей работы в столь уважаемой области анализа и начал размышлять о кое-чем более сложном.
О счете.
Мы обычно знакомим детей с числами, когда учим их считать. Они узнают, что числа – это «то, что мы используем для счета». Например, «семь» – это число, на котором мы остановимся в воскресенье, если начнем с «одного» в понедельник. Значит, количество дней в неделе равно семи. Но что это за зверь такой – семь? Слово? Нет, ведь вместо него можно использовать знак «7». Знак? Но ведь есть же слово… К тому же на японском знак «7» выглядит по-другому. Там что значит 7? Легко сказать: семь дней, семь овечек, семь цветов радуги… Но что такое само число? Вам никогда не попадется голая «семерка», она всегда привязана к какой-нибудь совокупности.
