Кантор решил сделать из нужды добродетель и объявил, что число – это что-то, связанное с множеством или совокупностью предметов. Множество можно составить из любой совокупности любых предметов. Интуитивно вы понимаете, что число, которое получится у вас при подсчете, показывает, сколько предметов содержится во множестве. Множество дней недели обозначено числом «семь». Удивительное свойство подхода Кантора заключается вот в чем: вы можете, не проводя подсчетов, определить, есть ли другие множества с семью предметами. Для этого достаточно лишь попытаться сопоставить предметы из множества, чтобы каждый предмет в одном множестве в точности соответствовал предмету в другом. Если, к примеру, взять в качестве второго множества цвета радуги, получится что-то вроде следующего:
Понедельник – Красный
Вторник – Оранжевый
Среда – Желтый
Четверг – Зеленый
Пятница – Синий
Суббота – Фиолетовый
[48]
Воскресенье – Октариновый
Порядок, в котором они перечислены, не имеет значения. Но нельзя связывать вторник одновременно с фиолетовым и зеленым или зеленый одновременно со вторником и воскресеньем. Как и вычеркивать предметы из множества.
А если вы попытаетесь сопоставить дни недели со слонами, держащими Диск, у вас ничего не выйдет:
Понедельник – Берилия
Вторник – Тубул
Среда – Великий Т'Фон
Четверг – Джеракин
Пятница –?
Точнее, у вас закончатся слоны. Даже легендарный пятый элефант не позволит вам продвинуться дальше пятницы.
Так в чем же разница? Ну, в неделе семь дней, а в радуге семь цветов, поэтому они легко соотносятся друг с другом. Но слонов всего четыре (раньше, возможно, было пять), а четыре или пять нельзя соотнести с семью.
Глубинный философский смысл этой задачи состоит в том, что вам не нужно знать о числах четыре, пять или семь, чтобы понять, что они не соотносятся. Сами числа играют второстепенную роль. Соотнесение по логике первично в сравнении со счетом
[49]. А всем множествам, которые соотносятся друг с другом, можно приписать общий символ, или «мощность», которая, по сути, и будет этим числом. Например, мощность множества дней недели равна семи, и она же применима к любому множеству, которое с ним соотносится. Так что мы можем обосновать наше понятие о числах на более простом понятии о соотнесении.
Итак, пока ничего нового. Но «соотнесение» имеет смысл не только для конечных, но и для бесконечных множеств. Можно соотнести четные числа со всеми числами:
2 1
4 2
6 3
8 4
10 5
…
и так далее. Соотнесения таких множеств объясняют случай отеля Гильберта. Именно отсюда Гильберт почерпнул свою идею (сначала крыша, а потом фундамент, помните?).
Какова мощность множества всех чисел (и, соответственно, любого соотносящегося с ним числа)? Традиционно ее называют «бесконечностью». Кантор в 1883 году осмотрительно предпочел название, которое вызывало меньше ассоциаций, – «алеф», первой буквы еврейского алфавита. И добавил нолик – очень скоро вы узнаете, почему, – получив «алеф-нуль».
Он понимал, какую кашу заваривает: «Я прекрасно осознаю, что, принимая такое действие, я противопоставляю себя распространенным в математике взглядам на бесконечность и нынешним мнениям относительно природы чисел». И получил то, чего ожидал – враждебное отношение, особенно со стороны Леопольда Кронекера. «Бог создал целые числа, остальное – творение Человека», заявил последний.
Но в наши дни большинство людей полагает, что целые числа – это тоже творение Человека.
Зачем вводить новый знак (да еще и из еврейского алфавита)? Если бы, по мнению Кантора, существовала лишь одна бесконечность, он мог бы, как все, просто называть ее «бесконечностью» и в качестве ее символа использовать лежащую на боку восьмерку. Но под своим углом зрения он быстро заметил, что могут существовать и другие бесконечности и дал им правильные имена: алеф-один, алеф-два, алеф-три и так далее.
Как это так – другие бесконечности? Они оказались важным и неожиданным следствием из простой детской идеи сопоставления. Чтобы описать, откуда они взялись, нам нужно немного рассказать о действительно больших числах. И конечных, и бесконечных. Для того чтобы вы убедились, что они не такие уж страшные, мы примем одну условность.
Если n – это любое число любого размера, то n-плекс будет означать 10n, то есть 1 с n нулей. Так, 2-плекс равен 100 (ста), 6-плекс – 1000000 (миллиону), 9-плекс – миллиарду. При n = 100 у нас получится гугл, значит, гугл = 100-плекс. Гуглплекс по аналогии можно назвать 100-плекс-плексом.
Подобно Кантору, мы начинаем праздно размышлять о бесконечно-плексе. Но давайте выразимся точнее: как нам быть алеф-нуль-плексом? Чему равен 10алеф-нуль?
Как ни странно, на этот вопрос существует вполне разумный ответ. Это мощность множества всех действительных чисел – то есть всех чисел, которые можно представить в виде бесконечно длинной десятичной дроби. Вспомните Птагонала, философа из Эфеба, которому, как утверждается, принадлежит высказывание: «…существует отношение длины окружности к диаметру… Оно должно быть равно трем. Но так ли это на самом деле? Нет. Три целых, один, четыре, один и так далее и так далее. И все один и четыре, один и четыре. От такого можно в стельку напиться»
[50]. Конечно, это намек на известнейшее из действительных чисел, для точной записи которого необходимо указать бесконечное число десятичных знаков, – π («пи»). С точностью до десятой π равно 3,1. До сотой – 3,14. До тысячной – 3,141. И так далее до бесконечности.
