Кроме π, есть и огромное количество других действительных чисел. Насколько велико их фазовое пространство?
Рассмотрим десятичные знаки. Если мы ограничимся одной цифрой после запятой, получится 10 возможностей: любая из цифр 0, 1, 2… 9. Ограничимся двумя – 100 возможностей: от 00 до 99. Тремя – 1000 возможностей: от 000 до 999.
Закономерность очевидна. Если мы ограничимся n знаками после запятой, получится 10n возможностей. Иными словами – n-плекс.
Если эти знаки будут продолжаться «вечно», то необходимо уточнить, о какой именно «вечности» идет речь. И ответом будет «алеф-нуль Кантора», потому что в нем есть первая цифра после запятой, вторая, третья… и их можно соотнести с целыми числами. И если мы примем n за алеф-нуль, то мощность множества всех действительных чисел (не считая знаки перед запятой) будет равно алеф-плексу. Если все же учитывать знаки перед запятой, это утверждение тоже будет справедливым, но уже по более сложным причинам
[51].
Это все очень хорошо, но если все бесконечности должны быть равны, то разве алеф-нуль-плекс не будет неразличим? Нет. Они не равны. Кантор доказал, что нельзя соотнести действительные числа с целыми. Отсюда следует, что алеф-нуль-плекс больше, чем алеф-нуль.
Но он пошел дальше. Гораздо дальше. Он доказал
[52], что если n – это мощность любой бесконечности, то n-плекс будет больше нее. Значит, алеф-нуль-плекс-плекс еще больше, алеф-нуль-плекс-плекс-плекс – еще больше, а…
Перечень бесконечностей Кантора не имеет конца. Такой «гипербесконечности», которая была бы больше остальных, просто нет в природе.
Представление о бесконечности как о «самом большом возможном числе» здесь сталкивается с некоторыми трудностями. А разумный подход к бесконечной арифметике выглядит следующим образом.
Если взять любую бесконечную мощность алеф-n, то алеф-n-плекс будет больше ее. Тогда вполне естественным будет допустить, что она составит алеф-(n+1) – это утверждение называется обобщенной континуум-гипотезой. В 1963 году Пол Коэн (не имеющий известного отношения к Джеку-варвару) доказал, что… в общем, здесь бывает по-разному. Для одних множеств теория справедлива, для других – нет.
Математика основывается на том, что лучше сначала построить дом, а потом уже фундамент. Тогда этот фундамент можно будет убрать, если он вам не понравится, и заменить другим. И при этом не задеть самого дома.
Это и есть канторовский рай – совершенно новая система чисел-алефов, запредельных бесконечностей, «бесконечных» в полном смысле этого слова. Она естественным образом возникает из принципа, что одного метода «соотнесения» вполне достаточно для устройства логического основания арифметики. Большинство современных математиков солидарно с Гильбертом, а некогда поразительные идеи Кантора теперь сплелись с математикой в единое целое.
Волшебники пытаются разобраться не только с математикой бесконечности. Помимо этого они связались и с физикой. И подняли совершенно новые вопросы. Конечна ли или бесконечна вселенная? Какого типа конечностью или бесконечностью она обладает? А все эти параллельные вселенные, о которых то и дело твердят космологи и квантовые физики? Даже если вселенная конечна, может ли в ней содержаться бесконечное множество параллельных миров?
С точки зрения современной космологии то, что мы обычно принимаем за вселенную, является конечным. Сначала, когда произошел Большой взрыв, она была точкой, а затем стала расширяться с конечной скоростью на протяжении 13 миллиардов – значит, она конечна. Существует вероятность, что она может быть бесконечно делимой на частицы, не имеющие нижнего ограничения по размеру – как математическая линия или плоскость, – но, выражаясь языком квантовой механики, нижний порог зернистости определен планковской длиной, а значит, вселенная имеет очень большое, но конечное количество возможных квантовых состояний.
Многомировая интерпретация квантовой теории была придумана Хью Эвереттом в качестве способа объединения квантовых взглядов на мир с нашим повседневным его «восприятием». Она утверждает, что если где-то совершен выбор – например, спин электрона направлен вверх или вниз, кот жив или мертв, – вселенная не просто принимает его и отвергает все остальные варианты. Нам кажется, что это происходит именно так, но на самом деле вселенная принимает все возможные выборы. От вселенной, которую воспринимаем мы, ответвляется несчетное количество «альтернативных», или «параллельных», миров. Иными словами, там происходит то, чего не произошло здесь. В одном из них Гитлер победил во Второй мировой. В другом – вы съели на одну оливку больше вчера за ужином.
С художественной точки зрения многомировое описание квантовой теории приводит в восторг. Перед ней не устоит ни один писатель в поиске впечатляющей научной лабуды, с помощью которой можно объяснить перемещения персонажей в альтернативные истории – в этом мы и сами не безгрешны.
Проблема тут кроется в том, что многомировая интерпретация несколько переоценена. Ее привычное описание, конечно, вводит в заблуждение. Вообще это можно сказать о многих положениях физики множественных вселенных. Данный факт вызывает сожаление – ведь глубокие и красивые идеи таким образом превращаются в банальности. Предположение о существовании смежной альтернативной вселенной, в которой Гитлер побеждает союзников, на многих действует отталкивающе. Это звучит слишком нелепо, чтобы даже задумываться о такой возможности. «Если таким занимается современная физика, то я бы предпочел, чтобы мои налоги пошли на что-нибудь более полезное – рефлексологию например».
Наука о множественной вселенной – о том, что она вполне закономерно имеет несчетные альтернативы, – в самом деле восхитительна. А местами даже полезна. А еще (необязательно теми же местами, где полезна) может оказаться правдивой. Впрочем, мы попытаемся вас в этом убедить – местами с Гитлером.
Все началось, когда было открыто, что квантовое поведение можно представить математически в виде Большой Суммы. Все, что случается на самом деле, представляет собой сумму всех событий, которые могли произойти. Ричард Фейнман предельно доходчиво объяснил это в своей книге «КЭД» (Квантовая электродинамика). Представьте фотон, частицу света, отражающуюся в зеркале. Вы можете рассчитать его траекторию – для этого нужно «сложить» все его возможные траектории. Но на самом деле вы складываете не траектории, а уровни яркости, интенсивности света. Траектория представляет собой концентрированную яркую полосу, и сейчас она попадает в зеркало, отражаясь под тем же углом.
