Левая часть равна просто k1/q, поэтому уравнение выполняется, если
Теперь правила приобретают следующий вид:
Случай 1: p < k1/k2q – никакого контроля;
Случай 2: p > k1/k2q – 100 %-ный контроль,
где k2 теперь средние потери из-за понижения сортности или утилизации отказавших готовых изделий.
Заметьте, что значение q почти всегда будет близко к единице, поэтому правило «все или ничего» для практических применений останется неизменным.
Пример 4. Этот пример имеет форму меморандума, который я послал одной компании в день его написания. Вот эта памятная записка.
Как я понял из нашей вчерашней встречи, стержни с покрытием, деталь № 42, – важная для вас продукция, объем производства которой в настоящий момент составляет 20 000 штук в неделю и вскоре должен вырасти до 40 000. Объем входящих партий необработанных стержней равен 2800 штук, хотя это и не относится к делу.
Затраты, данные о которых вы мне предоставили, предположительно полностью распределены между оплатой труда, материалами, испытаниями и другими расходами и равны
k1 = 7 центов, k2 = 1500 центов.
Средняя доля дефектных изделий, согласно вашим данным, составляет примерно 1 %. Соответственно, значение вашей точки равновесия равно
p = k1/k2q = 7/1500 × 0,99 = 0,00471,
или чуть меньше 1/200. Здесь привожу табл. 2, которую вчера я вывешивал на доску. Очевидно, что для минимизации средних полных затрат вам надо проводить 100 %-ный контроль входящих стержней. Ваше производство соответствует условию 2.
Таблица 2
Затраты для двух возможных процедур
Примечание: Затраты приведены в центах на штуку; k1= 7 центов, k2= 1500 центов, p = 0,01.
Если бы доля дефектных изделий во входящем сырье равнялась бы в среднем (например) 1/300 или 1/500, вам следовало бы совсем отказаться от входного контроля и положиться на контроль в точке проведения испытаний готовой продукции.
Вы подняли вопрос о потребности мониторинга данных о входящем качестве. Конечно, вы должны это делать. С этой целью я рекомендую вам вести объединенную p-карту для всех типов дефектов и еще одну для доминирующего типа дефектов. Вы могли бы наносить точку для каждой партии или (возможно, позднее) точку для каждого дня. Как я вас понял, ваш поставщик хочет изучить ваши методы и результаты контроля вместе с вами. Регулярно посылаемые копии ваших карт (возможно, ежемесячно) были бы для него полезны. Почему вы не получаете карты от него?
Вероятность дефектной сборки из многих деталей. В предшествующих разделах речь шла о простых изделиях, состоящих из одной детали. Мы вернемся к полезной теории в упражнении 4. Некоторые детали могут в целях минимизации полной стоимости потребовать 100 %-ного контроля. Однажды проверенные, они не приведут к отказу сборки (узла). Остальные детали не будут проверены, и дефектная деталь, если она попадет в производство, послужит причиной отказа. Предположим, у нас две непроверенные детали.
Начнем с того, что две непроверенные детали имеют доли дефектных p1 и p2. Тогда вероятность того, что сборка откажет, будет равна
Pr (отказать) = 1 – Pr (не отказать) = 1 – (1 – p1)(1 – p2) = p1 + p2 – p1p2. (1)
Если оба значения p1 и p2-малы, то эта вероятность будет близка к значению p1 + p2. Например, если p1 = p2 = 1/20, то вероятность отказа сборки равна 1/20 + 1/20 – 1/202 = 1/10 – 1/400. Ясно, что мы можем пренебречь произведением p1p2.
Простой способ написать вероятность отказа для любого числа деталей состоит в использовании диаграмм Венна (описан в любой книге по теории вероятностей). Таким образом, для трех деталей
Pr (отказать) = p1 + p2 + p3 – (p1p2 + p1p3 + p2p3) + p1p2p3 p1 + p2 + p3, (2)
при условии, что все pi малы. Обобщение на m деталей дает
Pr (отказать) p1 + p2 + … + pm (3)
снова при условии, что все pi малы.
Таким образом, вероятность отказа возрастает по мере того, как увеличивается число деталей. Радиоприемник может иметь 300 деталей, хотя это число будет зависеть от того, как вы их считаете. Автомобиль может иметь 10 000 деталей, опять в зависимости от того, как считать. Радиоприемник в автомобиле – это одна деталь или 300? Топливный насос – это 1 деталь или 7? Как бы вы ни считали, число деталей в одной сборке может быть огромным.
Но есть и другая проблема: k2 (стоимость исправления дефектной сборки) растет по мере увеличения числа деталей. Когда сборка отказывает, какая деталь виновата? Слишком легко поставить неверный диагноз. Более того, из двух деталей обе могут оказаться дефектными.
Чем сложнее становится продукция, тем более надежными должны быть компоненты, если задача – снизить затраты. Плохая работа увеличивает расходы на всех этапах производства – это отбраковка, ремонты, большие запасы для смягчения последствий обнаружения дефектных деталей, более высокие гарантийных затрат – и в конце концов приводит к потере репутации и бизнеса
[103].
Таким образом, в отношении изделий, состоящих из многих деталей:
1. Мы можем допустить, чтобы только несколько деталей соответствовали условию 2 (100 %-ный контроль); в противном случае стоимость контроля будет чрезмерной.
