k1 – стоимость контроля одного изделия;
k2 – стоимость демонтажа, ремонта, повторной сборки и испытаний сложного узла, отказавшего из-за попадания дефектного изделия в производство;
P – средняя доля партий, отправленных на отбраковку при первоначальном контроле (забракованных);
Q = 1 – P – доля партий, принятых при первоначальном контроле.
Каким бы ни был план контроля, можно быть уверенным, что
P = 0 и Q = 1, если n = 0, P = 1 и Q = 0, если n = N.
Теперь давайте посмотрим, что случится со средней партией, когда мы приведем этот план в действие:
n изделий попадут в производство без дефектов;
(N – n) Q изделий попадут прямо в производство без испытаний, со средним качеством p;
(N – n) P будут забракованы и отсеяны. Все они затем попадут в производство без дефектов.
А. Покажите, что средние полные затраты на одно изделие будут равны
C = k1 {1/q + Q (k2/k1)(p''– k1/k2)(1 – n/n)}.
Б. Если p < k1/k2, тогда p''– k1/k2 будет отрицательным и мы достигнем минимума средних полных затрат при n = 0 (случай 1).
В. Если p > k1/k2 и если нам удастся найти план, для которого p''– k1/k2 будет отрицательным, то средние полные затраты будут меньше, чем стоимость 100 %-ного контроля.
Г. Но если, несмотря на все наилучшие усилия, наш план приведет к тому, что p''– k1/k2 будет положительным, то полные затраты будут больше, чем это было бы при 100 %-ном контроле всех входящих изделий. Это та же самая неприятная ловушка, которую мы учились избегать в упражнении 5.
Рис. 56. Партия из 50 бусин, извлеченных механически с помощью лопатки с 50-ю углублениями из большой партии красных и белых бусин. Мы рассматриваем 20 бусин как выборку, а остальные 30 – как остаток
Приложение к главе 15 Эмпирическая демонстрация нулевой корреляции между числом дефектных изделий в выборке и числом дефектных изделий в оставшейся части, когда процесс находится в состоянии статистического контроля
Эксперимент с красными и белыми бусинами, описанный в главе 11, можно легко модифицировать, чтобы в течение нескольких минут продемонстрировать нулевую корреляцию между числом дефектных изделий в выборке из партии и числом дефектных изделий в оставшейся части.
Математическое доказательство содержится в уравнении (4) из упражнения 1. Те же эксперименты демонстрируют наличие слабой корреляции между выборками и партиями.
В эксперименте надо всего лишь разделить на две части партию из 50 бусин, одна часть будет выборкой, другая – остатком (рис. 56). Для каждой партии сосчитайте и запишите число красных бусин в выборке и в остатке; затем верните 50 бусин этой партии в емкость. Перемешайте бусины и извлеките новую партию.
Полезно ввести некоторые обозначения. Партии постоянного объема N поступают с дефектами, распределенными биномиально со средним значением p. Из каждой партии извлекается без возврата выборка постоянного объема n. Считается число дефектов в каждой выборке и в каждом остатке. Пусть число дефектов в выборке будет s, а число дефектов в остатке – r (как и раньше). Тогда s и r будут случайными числами, для совместного распределения которых существует уравнение (4)). Пусть
= s/n, доля красных в выборке,
´= r/(N – n), доля красных в остатке,
E
= p,
Var
= pq/n,
E
'= p,
Var
'= pq/(N – n),
Cov (
,
') = 0.
Дисперсии
и
' уменьшаются с ростом N и n. Следовательно, большая выборка из крупной партии обеспечивает информацию о числе дефектов в оставшейся части совокупности и в партиях. Более того, мы можем для количественной проблемы (когда наша цель – дать характеристику партии по выборке) применить выборочную теорию для оценки партии и стандартных ошибок этих оценок.
