Впервые указанная зависимость была выявлена гарвардским профессором-лингвистом Джорджем Ципфом в 1930-х гг. и описана им в знаменитом труде «Человеческое поведение и принцип наименьшего усилия». На самом деле закон Ципфа, как он впоследствии был назван научным сообществом, является лишь одним из множества «степенных законов», или законов степенного распределения. Например, с точки зрения естественного языка степенной закон означает, что небольшое количество слов в языке встречается очень часто, а большое количество слов – относительно редко.
Ципф ошибочно утверждал, что этот закон отличает социальные науки от естественных наук. Однако впоследствии ученые обнаружили степенные законы во многих областях, включая физические и биологические системы. Например, ученые используют степенные законы для объяснения взаимосвязи между массой и скоростью метаболизма у животных, между частотой и магнитудой землетрясений (закон Гуттенберга – Рихтера), между частотой и размером лавин. Степенные законы играют важную роль в социальных системах, включая распределения доходов (закон Парето), размеры городов, интернет-траффик, размеры компаний и изменения цен акций. Многие люди признают существование степенных законов, пользуясь эмпирическим правилом 80/203.
К чему инвесторам знать о степенных законах?
Во-первых, существование степенных распределений заставляет нас по-новому взглянуть на риск. Существующая финансовая теория, в том числе модели оценки риска, во многом опирается на предположение о том, что изменения цены акций подчиняются нормальному или логнормальному распределению. Степенное распределение говорит, что периодически, хотя и нечасто, на рынке могут происходить более сильные движения, чем предполагается стандартной теорией. Этот феномен толстых хвостов важен для формирования портфеля и грамотного использования заемных средств.
Во-вторых, существование степенных законов предполагает наличие некоего основополагающего порядка в самоорганизующихся системах. Хотя в настоящее время ученые не сумели до конца объяснить, какие механизмы стоят за действием степенных законов в социальных системах, у нас есть достаточно доказательств того, что степенные законы существуют, и это позволяет делать некоторые предсказания о том, как будут выглядеть структуры некоторых систем в будущем.
Наконец, при помощи стандартной экономической теории нелегко объяснить существование степенных законов. Например, неоклассическая теория рассматривает рынок как стремящуюся к равновесию систему, где все агенты полностью информированы, рациональны и взаимодействуют между собой косвенным образом (через рынок). Но в реальном мире люди часто не имеют всей необходимой информации, склонны к нерациональным действиям и взаимодействуют друг с другом напрямую. Следовательно, в идеале мы должны пытаться объяснить эмпирические открытия при помощи подхода, который бы описывал, как на самом деле ведут себя люди4.
Чем больше изменений…
Ципф выразил свой закон при помощи очень простого уравнения:
Ранг × Размер = Константа (постоянная величина).
Из этого уравнения следует, что количественный параметр исследуемого объекта обратно пропорционален его рангу (порядковому номеру). При помощи уравнения Цифпа мы можем вывести последовательность, умножая константу на 1, 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. Например, если в самом большом городе Испании Мадриде проживают 3 млн жителей, то во втором по величине городе Барселоне – вдвое меньше жителей; третий по величине город Валенсия имеет втрое меньше жителей; и т. д. Закон Ципфа хорошо описывает некоторые системы, но очень узок для того, чтобы описать все разнообразие систем, следующих степенному распределению.
Блестящий ученый Бенуа Мандельброт предложил две модификации закона Ципфа, чтобы получить более универсальный степенной закон5. Первое уточнение состоит в добавлении к рангу некоторой эмпирической константы. В этом случае последовательность принимает вид: 1/(1 + константа), 1/(2 + константа), 1/(3 + константа) и т. д.
Второе изменение – добавление некой константы к 1 в показателе степени в знаменателе. Это дает нам следующую последовательность: 1/(1 + константа) 1 + константа, 1/(2 + константа) 1 + константа и т. д. Показатель степени может быть целым числом или дробью (например, 1/(1 + константа)3/4). Таким образом, закон Ципфа является частным случаем, где обе константы равны нулю.
Даже с введением этих двух новых параметров обобщенный закон Ципфа – Мандельброта, описывающий более широкий набор степенных зависимостей, остается очень простым. Тот факт, что столь элементарное уравнение описывает столь разнообразные феномены, не может не вызывать удивления, – особенно если учесть, что у нас до сих пор нет единого объяснения тому, как возникают эти степенные зависимости.
Одно из интересных свойств степенных законов в социальных системах – их устойчивость. Например, в приложении 35.1 показан график зависимости между размером городов США и их рангом в системе городов за период с 1790 по 1990 г. Несмотря на рост населения и значительные географические изменения, зависимость между рангом и размером демонстрирует замечательное постоянство на протяжении 200 лет.
Другой, более близкий инвесторам пример – аналогичное отношение между размером компаний и их рангом. Как видно из приложения 35.2, зависимость между объемами и частотой продаж для американских компаний в 1997 г. подчиняется закону Ципфа. Этот график построен экономистом Робертом Акстеллом на основе данных Бюро переписи США, доступ к которым был открыт только в начале 2001 г. и которые включают 5,5 млн компаний с более чем 100 млн сотрудников.
Акстелл замечает, что указанное распределение размеров компаний нечувствительно к изменениям политической и регуляторной среды, всплескам активности в сфере слияний и приобретений, волнам поглощений и слияний, банкротствам и появлению новых компаний и даже к крупномасштабным демографическим изменениям в рабочей силе (например, к значительному увеличению числа работающих женщин)6. Из этого можно сделать вывод, что существуют некие мощные фундаментальные механизмы, которые и создают наблюдаемый нами порядок.
Никто до конца не понимает, какие механизмы приводят к возникновению степенных законов, но существует ряд моделей или процессов, которые позволяют их воспроизвести7. Возможно, наиболее известна из них модель «самоорганизующейся критичности», популяризованная физиком-теоретиком Пером Баком. Он описал ситуацию, когда ребенок на пляже насыпает песчаную горку. Сначала горка является относительно плоской, и песчинки остаются близко к тому месту, куда они упали. Но когда горка становится круче, новые песчинки периодически вызывают небольшие оползни. Через какое-то время оползни начинают равняться самой горке. Это значит, что система вошла в «критическое состояние» – на грани стабильности и случайного изменения. Когда горка находится в критическом состоянии, дополнительные песчинки приводят к сходам оползней разной величины, при этом размеры оползней соответствуют степенному закону8.
