Решение возможно, если вы используете еще одну полезную особенность весов: если вес двух групп шаров одинаков, чаши весов уравновесятся. Если это произойдет, вы можете сделать вывод, что среди взвешенных шаров нет дефектного.
Во время первого взвешивания положите по три любых шара на каждую чашку весов. Возможно два разных исхода.
Первый – чаши могут уравновеситься. В этом случае дефектный шар – это один из тех двух шаров, которые вы не взвешивали. Поэтому во время второго и последнего взвешивания вы кладете на весы эти два шара – более тяжелый и есть дефектный.
Другой возможный исход первого взвешивания: одна из двух чашек весов оказывается тяжелее. Дефектный шар должен быть на этой перевесившей чашке весов. Во втором взвешивании вы сравниваете любые два шара из этой тройки. Если один из них оказывается тяжелее, чем другой, – это и есть дефектный шар. Если шары одинакового веса – дефектный шар тот, который вы не взвешивали.
Эта головоломка хорошо известна во всем мире. Она была, например, опубликована в 1956 году в книге Бориса Кордемского «Математическая смекалка», которая была бестселлером в Советском Союзе времен «холодной войны».
? Если у вас пять баночек с таблетками…
В данном случае у вас весы, которые показывают вес (а не весы без гирь, о которых шла речь в задаче о биллиардных шарах).
В реальной жизненной ситуации вы, наверное, просто взвешивали бы по одной таблетке из каждой баночки, пока не обнаружили бы ту, которая весит 9 граммов, но вы не можете так поступить, поскольку разрешается только одно взвешивание. Шансов на то, что вам в первом же взвешивании попадется дефектная таблетка, один из пяти.
Это значит, что вам нужно одновременно взвешивать таблетки не из одной баночки, а из нескольких. Рассмотрим простейший случай: вы взвешиваете пять таблеток, по одной из каждой баночки. Тогда итоговый вес обязательно окажется 10 + 10 + 10 + 10 + 9 = 49 граммов. Проблема в том, что это можно узнать и без всякого взвешивания. Это никак не поможет вам узнать, из какой баночки вы взяли дефектную 9-граммовую таблетку.
Вам нужно придумать такую ситуацию, в которой вес таблеток был бы информативным. Одно из решений – пронумеровать баночки № 1, № 2, № 3, № 4, № 5. Потом вы кладете на весы одну таблетку из баночки № 1, две – из № 2, три из № 3, четыре из № 4 и пять из № 5. Вы взвешиваете одновременно все эти таблетки. Если бы все таблетки были нормального веса, то результат был бы 10 + 20 + 30 + 40 + 50 = 150 граммов. На самом деле вес будет меньше, причем на количество граммов, которое соответствует номеру баночки с испорченными таблетками. Например, если общий вес будет 146 граммов (на 4 грамма меньше), это значит, что более легкие дефектные таблетки – в баночке № 4.
Альтернативное решение позволяет определить дефектную баночку, взвесив меньше таблеток: 1 + 2 + 3 + 4 таблеток из первых четырех баночек. Тогда если вес окажется меньше 100 граммов, то количество граммов, которого не хватает до 100, укажет вам номер дефектной баночки. Если же вес будет ровно 100 граммов, это означает, что дефектные таблетки в пятой баночке.
После того, как вы найдете правильный ответ, вы можете спросить интервьюера о том, для кого предназначаются эти таблетки. Хороший ответ на этот вопрос – «для лошади». 10-граммовая таблетка весит в тридцать раз больше, чем обычная (325 миллиграммов) таблетка аспирина.
Эта головоломка (правда, речь шла о взвешивании монет) упоминалась Мартином Гарднером в его колонке в журнале Scientific American в середине 1950-х. Гарднер описывал ее как «новую и элегантную вариацию» задач о взвешивании, «популярных в последние годы».
? Три муравья находятся в трех углах равностороннего треугольника…
Есть два способа движения, при котором муравьи не встретятся друг с другом: они все должны двигаться по часовой стрелке или все против часовой стрелки. В противном случае встречи им не избежать.
Выберите одного муравья и назовите его, например, Биллом. После того, как Билл решил, в какую сторону двигаться (по часовой стрелке или против часовой стрелки), другие муравьи должны двигаться в том же направлении, чтобы не столкнуться. Поскольку муравьи принимают решение случайным образом, шансы на то, что второй муравей направится в ту же сторону, что и Билл, – один из двух, аналогично и для третьего муравья эта вероятность такая же. Это значит, что вероятность избежать столкновения – один из четырех.
? Четыре собаки находятся в разных углах большого квадрата…
Чтобы упростить решение задачи, предположим, что длина стороны квадрата 1 миля, а собаки – это гончие, выведенные генетиками, которые бегут со скоростью ровно одна миля в минуту. Представьте себе, что вы блоха, которая едет на спине собаки номер 1. У вас есть крошечный радар, который позволяет вам точно измерить скорость движения других объектов относительно вашей системы отсчета (ею служит в данном случае собака номер 1, в шерсть который вы вцепились пятью вашими лапками, а в шестой вы держите радар). Собака 1 преследует собаку 2, которая преследует собаку 3, которая преследует собаку 4, которая, в свою очередь, преследует собаку 1. В начале погони вы направляете радар на собаку 4 (которая гонится за вами). Радар вам сообщает, что собака 4 приближается к вам со скоростью 1 миля в минуту.
Чуть позже вы снова проверяете показания вашего ручного радара. И что же вы видите теперь? В этот момент все собаки уже пробежали какое-то расстояние и находятся ближе друг к другу и все они немного изменили направление движения, чтобы направляться точно к той собаке, которую они преследуют. Четыре собаки все еще образуют правильный квадрат. Каждая из них по-прежнему преследует свою «собаку-мишень» со скоростью 1 миля в минуту, и каждая «мишень» движется, как и раньше, под прямым углом к преследователю. Поскольку все мишени движутся под прямым углом к направлению движения преследователей, те догоняют их на полной скорости. Это означает, что ваш радар по-прежнему покажет, что собака 4 приближается к вам со скоростью 1 миля в минуту.
Такими же будут показания радара в течение всей погони: собака 4 приближается к вам на скорости 1 миля в минуту. Все эти рассуждения о блохах и радарах – всего лишь красочный способ проиллюстрировать то, о чем говорится в условии задачи: собаки догоняют свои «мишени» с постоянной скоростью.
Не играет никакой роли, что ваша система отсчета (то есть собака) сама движется относительно других собак. Эта система отсчета не хуже любой другой (если интервьюеры станут к вам приставать по этому поводу, отвечайте им, что так сказал Эйнштейн). Единственное, что играет роль, – собака 4 приближается к вам с постоянной скоростью. Поскольку в начале погони собака 4 находилась от вас на расстоянии одной мили и приближалась к вам с постоянной скоростью 1 миля в минуту, она непременно столкнется с вами через одну минуту. Блохи-наездники на других собаках, несомненно, придут к такому же выводу. Все собаки столкнутся друг с другом через минуту после старта.
Где это произойдет? Собаки движутся по абсолютно симметричным траекториям. Было бы странно, если бы они при этом отклонились на «две трамвайные остановки» к востоку или западу. Нет никакой силы, которая бы подталкивала их к востоку или западу. Что бы ни происходило, симметрия исходной ситуации должна сохраниться. Если уж собакам суждено догнать друг друга – это произойдет точно в середине квадрата.
