Распределение вероятностей
В ситуациях с множественными возможными исходами подсчитывается их распределение. Каждому исходу приписывается определенная вероятность. С помощью тщательного анализа и интуиции вычисляются все возможные исходы того или иного события. Сумма вероятностей всех исходов равна 100 %, как и на любом разветвлении дерева решений. График распределения исходов называется вероятностной мерой или плотностью вероятности. Когда вероятных исходов много, кривая получается плавной и в этом случае называется функцией плотности вероятности. Если возможных исходов всего несколько, кривая неровная, и в этом случае она называется вероятностной мерой.
Пример с дождями. Дождь в Сиэтле – событие, характеризуемое определенным распределением вероятностей. В соответствии с гипотетическими данными выпадение дождей в Сиэтле можно представить в форме таблицы и графиков распределения вероятностей (табл. 5.1).
Биномиальное распределение
Подбрасывание монеты имеет два вероятных исхода – монета падает орлом или решкой кверху. Поэтому распределение исходов двух подбрасываний монеты дает несколько разных результатов с точки зрения того, кто поставил на орла.
• Двойная удача – орел/орел.
• Одна удача / одна неудача – орел/решка.
• Двойная неудача – решка/решка.
Подбрасывание монеты описывается самым простым видом распределения вероятностей – биномиальным. При биномиальном распределении существует всего два одинаково вероятных исхода – удача и неудача.
«Тайную теорию» биномиального распределения можно применить к такому практическому делу, как анализ рынка акций. Удачей на рынке можно считать прибыль по итогам месяца, а неудачей – убыток или нулевую прибыль. В исследовании динамики цен на акции компании AT&T за период с 1957 по 1977 г. был проанализирован каждый месяц и установлена пропорция удачных месяцев: в 56,7 % случаев за двадцатилетний период успех был обеспечен.
Исследованные месяцы были объединены в группы по три (кварталы). Исследователи выявили частоту событий с благоприятным исходом (рис. 5.14):
Математик, подбрасывавший монету, составил таблицы для решения всех задач по биномиальному распределению. В случае с компанией AT&T для пользования такой таблицей необходимо иметь следующую информацию:
r = число благоприятных исходов = от 0 до 3;
n = число попыток = 3 (3 месяца в квартале);
р = вероятность благоприятного исхода = 56,7 %.
На основании этой информации таблица биномиального распределения предсказывает ожидаемые исходы (рис. 5.15):
Как ни странно, биномиальное распределение довольно хорошо коррелирует с фактическими результатами по AT&T. При данной вероятности благоприятного исхода (p) вероятность получения прибыли по итогам месяца за конкретный квартал можно узнать из таблицы. Поэтому инвестиционные менеджеры, директора по продажам и аналитики могут делать из биномиального распределения практические выводы.
Нормальное распределение: тайна колоколообразной кривой
Нормальное распределение встречается чаще всего, а его графическое представление обычно называют колоколообразной кривой. В Гарварде при выставлении оценок используют колоколообразную кривую. Кривая показывает, что 15 % слушателей получают низкую оценку (проходной балл). В Дарденской бизнес-школе преподаватели ставят неудовлетворительную оценку, основываясь на собственном суждении. Результат: в двух кампусах сложилась принципиально разная конкурентная среда.
Когда вероятностная мера выводится на основании множества проб, точки кривой сближаются, и она принимает колоколообразные очертания. Такую кривую мы называем функцией плотности вероятности. Именно так выглядели графики осадков в Сиэтле. Горб посреди кривой объясняется центральной предельной теоремой. Она гласит, что «распределение средних арифметических для повторяющихся независимых выборок принимает форму колоколообразного нормального распределения». Почему? Просто потому, что при большом числе независимых выборок итог стремится к центральному среднему арифметическому.
Концепция «средних по выборкам» довольно расплывчата. На практике речь идет о достаточно больших группах данных. Почему? Потому что нормальное распределение легко использовать, и оно всегда оказывается близко к реальности. Курс акций – это отражение многочисленных конъюнктурных колебаний на рынке, результатом которых будет благоприятный или неблагоприятный исход. Этот результат можно рассматривать в качестве «среднего арифметического» конъюнктурных колебаний. Едва ли не все происходящее можно рационализировать через среднее арифметическое, и этим объясняется полезность нормальных распределений.
Параметры нормальной кривой. Колоколообразная кривая характеризуется двумя параметрами: средним и стандартным (среднеквадратичным) отклонением (СКО). Среднее (μ) является центром кривой. Обычно его называют средним арифметическим. Оно вычисляется делением суммы значений на их количество. Среднеквадратичное отклонение (σ) определяет ширину кривой. СКО можно также описать как критерий «отклонения от среднего». Две эти характеристики играют ключевую роль в большей части концепций теории вероятности.
Другие критерии средней величины для совокупности данных – медиана, величина, стоящая в середине упорядоченного по возрастанию списка данных, и мода – величина, чаще всего встречающаяся в выборке.
