Не важно, о какой системе идет речь – об инвестированном капитале, растущем за счет сложных процентов либо теряющем стоимость из-за инфляции, или о популяции бактерий, которые выращиваются в лабораторных условиях и размножаются путем деления клеток или погибают под давлением испытываемого лекарства. Если эту систему можно описать с помощью усиливающей петли, вы будете наблюдать или экспоненциальный рост, или экспоненциальный спад.
Одно маленькое предупреждение, касающееся выявления экспоненциального роста из данных временного ряда и соответствующего графика. Взгляните на график на рис. 5.10, где показан рост населения небольшого городка в конце 1800-х гг.
Он кажется линейным, но это не так. Как показано ниже, это лишь малая часть кривой большего масштаба рис. 5.11.
Это, конечно, экспоненциальный график. Однако если взять достаточно маленький его фрагмент, он может казаться линейным. Поэтому будьте осторожны, интерпретируя поведение на основе малого количества данных, особенно если изучаемая система работает сравнительно давно: то, что вы увидите с первого взгляда, может оказаться ошибочным. Экспоненциальный рост всегда начинается очень медленно, и может пройти некоторое время, прежде чем он станет очевидным.
Экспоненциальный рост становится очень быстрым
Контрольная работа: история о лягушках
На одном берегу большого пруда живет колония лягушек. Другой берег зарос кувшинками. Однажды в пруд попадает некое вещество, стимулирующее рост кувшинок таким образом, что каждые 24 часа покрываемая ими площадь удваивается. И если кувшинки покроют пруд полностью, лягушки погибнут.
• Как бы вы описали рост кувшинок?
• Если кувшинки могут покрыть пруд целиком за 50 дней, на какой день он зарастет наполовину?
• У лягушек есть способ остановить рост кувшинок, но на это уйдет 10 дней. Какая часть поверхности пруда может быть покрыта кувшинками, чтобы лягушкам было еще не поздно начать действовать?
В данном случае размер площади, покрытой кувшинками, удваивается через равные промежутки времени – каждые 24 часа. Как мы видели, это одна из характеристик экспоненциального роста. Все популяции растут экспоненциально, и темп роста является разностью рождаемости и смертности, как показано на диаграмме цикличной причинности на рис. 5.7.
Если кувшинки покроют пруд за 50 дней и если их количество удваивается каждый день, то наполовину пруд покроется к концу 49-го, а не 25-го дня. Если рост будет линейным, половина пруда действительно зарастет на 25-й день – так обычно отвечают на второй вопрос, потому что большинству людей гораздо легче представить линейный, а не экспоненциальный рост. Но в данном случае это как раз экспоненциальный рост, количество кувшинок удваивается каждый день, и чтобы наполовину заросший пруд зарос полностью, потребуется всего один день.
Экспоненциальный рост начинается медленно, но затем его темп стремительно нарастает. Третий вопрос касается именно этого аспекта.
В вопросе говорится, что у лягушек есть способ остановить рост кувшинок, но на это нужно 10 дней. Поэтому последний день, когда они могут начать действовать, – 40-й.
Какая часть пруда будет покрыта кувшинками к этому времени? Легче всего считать с конца. Мы знаем, что пруд полностью зарастет к концу 50-го дня, к концу 49-го дня он будет покрыт кувшинками наполовину, к концу 48-го дня – на половину половины, то есть на четверть, к концу 47-го дня – ½ × ½ × ½ = (½)3 и т. д. Часть пруда, покрытая к концу 40-го дня, составляет (½)10.
(½)10 – очень маленькое число, всего 0,00098, то есть меньше одной тысячной. Всего за 10 дней до катастрофы кувшинками будет покрыто менее одной десятой процента поверхности!
Экспоненциальный рост – естественное поведение всех усиливающих петель – может вводить в заблуждение. Он начинается очень медленно, едва заметно. Но затем внезапно превращается в лавину.
Явные и неявные свободные звенья
Диаграмма цикличной причинности на рис. 5.12 завершена и содержит явное свободное звено, обозначающее темп роста.
В отличие от нее, диаграмма на рис. 5.13 не содержит явных свободных звеньев. Эти звенья скорее подразумеваются: даже без них мы узнаем усиливающую петлю и демонстрируемый ею экспоненциальный рост или упадок.
Конечно, мы можем включить в диаграмму свободные звенья, если захотим (см. рис. 5.14).
На этой диаграмме средний доход от продаж на клиента определяет доход от продаж для данной базы довольных клиентов; общая маржа – суммарную прибыль с данного дохода с продаж; коэффициент инвестиций представляет политику компании относительно реинвестирования прибыли; а количество новых клиентов на каждую $1000 инвестиций отражает эффективность, например, кампании по прямой почтовой рассылке. Общий результат всего вышеперечисленного определяет общий темп роста бизнеса в любой момент времени. Если вы возьмете значение 5000 человек для начальной базы довольных клиентов, $100 – для среднего дохода от продаж на клиента, 20 % – для общей маржи, 65 % – для коэффициента инвестиций и 20 – в качестве количества новых клиентов на каждые $1000 инвестиций, вы сможете воспроизвести округленные цифры экспоненциального роста. Разные цифры дадут разные темпы роста, но каковы бы ни были числовые значения, общая структура петли обратной связи остается неизменной – это усиливающая петля. И если параметры, движущие ею, остаются постоянными, она будет беспрерывно экспоненциально расти или уменьшаться.
Иногда явное изображение всех свободных звеньев загромождает диаграмму, не добавляя ясности. Поэтому в диаграммах цикличной причинности всегда показаны все необходимые замкнутые петли, поскольку именно они определяют структуру, но специально опущено большинство свободных звеньев. Как мы уже видели, свободные звенья, включаемые в диаграммы, как правило, представляют основную внешнюю политику, цели или движущие силы; опускаемые обычно относятся к вспомогательным параметрам, таким, какие показаны в последней диаграмме и о которых можно догадаться из общего контекста.
