Пример аналитического мышления: модель ценообразования опционов Блэка и Шоулза
Фишер Блэк и Майрон Шоулз решили проблему ценообразования ценных бумаг
[44], долгое время доставлявшую неудобства инвесторам. Блэк получил степень PhD по прикладной математике в Гарвардском университете, затем работал в консалтинговой фирме Arthur D. Little, Inc. Получив степень по экономике в Чикагском университете, Шоулз недавно приступил к работе на кафедре финансов в MIT.
Терминология по ценообразованию опционов в значительной степени специализированная. Опцион – это ценная бумага, дающая право, но не обязывающая купить или продать определенный вид активов на установленных условиях в течение указанного времени. Цена, уплачиваемая за актив в момент исполнения опциона, называется ценой исполнения, или страйк-ценой. Последний день, когда возможно исполнение опциона, называется сроком погашения. Простейший вид опциона, часто называемый колл-опционом, представляет собой право на покупку обычных акций компании. Премия за риск – это сумма, уплачиваемая инвестором за акции или другие виды активов сверх цены аналогичных безрисковых активов.
В целом чем выше цена акций, тем больше будет цена опциона. Если цена акций намного превышает цену исполнения опциона, то опцион наверняка будет исполнен. С другой стороны, если цена акций намного ниже цены исполнения опциона, владелец вряд ли будет его исполнять, и тогда его цена стремится к нулю. Если срок погашения опциона очень отдален во времени, то цена опциона приблизительно равна цене акций на текущий момент. Обычно цена опциона падает по мере приближения срока его погашения даже при том условии, что цена самих акций может и не изменяться. Но размер премии за риск предугадать трудно.
Определение и формулирование проблемы. Необходимое условие эффективного управления рисками, связанными с опционами и другими деривативами, это корректное установление цены на них. Предыдущие попытки разработать эффективную модель ценообразования на деривативы по целому ряду причин оказались неудачными. Возник вопрос о поиске нового метода – научно обоснованного и подкрепленного фактическими данными.
Изучение предыдущих поисков решения. Ценообразование на деривативы имеет долгую историю, начиная с 1900 года. В большинстве случаев речь шла об установлении цены на так называемые варранты (колл-опционы, выпускаемые компаниями и предоставляющие владельцу право выкупить у компании акции по определенной цене), причем методики расчета цены базировались на аналогичных формулах. Эти формулы, как правило, включали в себя один или более произвольно выбранный параметр, вследствие чего отличались неполнотой и страдали одним и тем же глубоким недостатком: отсутствием объективной методики расчета премии за риск. К сожалению, модели ценообразования на ценные бумаги в условиях равновесия рынка, которая была бы основана на адекватной методике расчета премии за риск, просто не существовало. Блэк и Шоулз впервые в истории попытались вывести формулу цены опциона исходя из условия равновесия рынка.
Моделирование (выбор переменных). Было установлено, что на цену опциона влияют пять переменных, в том числе:
• срок погашения
• спот-цена соответствующего актива (цена, по которой в данное время и в данном месте продаются реальный товар или ценные бумаги на условиях немедленной поставки)
• цена исполнения опциона
• ставка процента по безрисковым ценным бумагам
• волатильность доходности соответствующего актива (показатель, характеризующий изменчивость цены).
Отметим, что среди переменных отсутствовало отношение инвесторов к риску. Блэк и Шоулз внесли существенный вклад в развитие темы, по сути дела, показав, что нет необходимости учитывать премию за риск при установлении цены на опцион. Это не значит, что премия за риск вообще отсутствует, но ее величина уже учтена в текущей цене акций.
Сбор данных (измерения). Модель Блэка и Шоулза основана на некоторых технических допущениях и признании взаимосвязей между переменными. На этапе разработки модели никаких измерений не проводилось. Однако Блэк и Шоулз провели эмпирические тесты своей теоретической модели на большом массиве данных о колл-опционах и опубликовали результаты в статье The Pricing of Options and Corporate Liabilities
[45].
Анализ данных. Блэк и Шоулз вывели дифференциальное уравнение с частными производными на основе некоторых технических допущений и теоретических предположений (с использованием методов дифференциального исчисления, а не статистики). Решением этого уравнения и стала формула Блэка и Шоулза, показывающая, каким образом можно рассчитать цену колл-опциона как функцию ставки процента по безрисковым ценным бумагам, вариации цен на базовый актив и параметров опциона (страйк-цены, срока погашения и рыночной цены базового актива). Формула основана на том предположении, что чем выше текущая цена акций и ее волатильность, а также ставка процента по безрисковым ценным бумагам и чем дольше период до погашения опциона, тем выше будет его цена. Аналогично этому рассчитывается цена и других деривативов.
Результаты и необходимые меры. Блэк и Шоулз пытались опубликовать результаты своих исследований, отправив их сначала в Journal of Political Economy, но редакция отклонила статью. Будучи уверенными в ценности своих изысканий, они послали работу в журнал Review of Economics and Statistics, где ее постигла та же участь. Большинству экспертов мысль о том, что можно математически рассчитать цену опциона, не учитывая при этом отношение инвесторов к риску, казалась неприемлемой и слишком неординарной. Изучив развернутые высказывания нескольких знаменитых экономистов по этому поводу, Блэк и Шоулз опять отправили статью в Journal of Political Economy, и на этот раз там ее приняли. Через некоторое время профессор MIT Роберт Мертон опубликовал статью, развивавшую некоторые математические аспекты модели Блэка и Шоулза.
Несмотря на проблемы с публикацией, основные выводы статьи получили широкое распространение во всем мире среди тысяч трейдеров и инвесторов, применявших их для рутинных расчетов цены опционов. Модель проста в расчетах и подробно раскрывает взаимосвязи между всеми входящими в нее переменными. Она обеспечивает полезную аппроксимацию, особенно при анализе направленности движения цен на опционы в критических точках. Даже если результаты нельзя считать абсолютно точными, их можно использовать в качестве первого приближения, а затем уточнить.
Модель Блэка и Шоулза стала незаменимой не только при прогнозировании цен на опционы, но и при решении многих других проблем экономики. Ее можно назвать самой успешной экономической концепцией во всей экономической теории. Мертон и Шоулз в 1997 году получили Нобелевскую премию по экономике за развитие новых методов определения цены деривативов. Хотя умерший в 1995 году Блэк не смог стать нобелевским лауреатом, но его заслуги были специально отмечены Академией наук Швеции.
