Это правильный ответ, но мы ожидаем, что все вероятности можно вычислять, возведя в квадрат результирующую стрелку. Как вычислить амплитуду пропускания света стеклянной пластинкой? И как ей удается таким именно образом менять свою длину, чтобы всегда соответствовать длине амплитуды А, так что вероятность для А и вероятность для В в сумме всегда дают 100 %? Давайте рассмотрим вопрос несколько подробнее.
Рис. 43. Прохождение через две поверхности можно разделить на пять этапов. На этапе 2 единичная стрелка сжимается до 0,98, на этапе 4 стрел-ка длиной 0,98 сжимается еще раз до 0,98 (что дает примерно 0,96). На этапах 1, 3 и 5 происходит только поворот. В итоге квадрат стрелки длиной 0,96 будет равен примерно 0,92, что дает вероятность прохождения через две поверхности, равную 92 %. (Это соответствует 8 %-ному отражению, правильному лишь «дважды в сутки».) Когда толщина пластинки такова, что вероятность отражения равна 16 %, то в сумме с 92 % вероятности прохождения получается 108 %, т. е. мы учли 108 % света. В нашем анализе что-то неправильно!
Движение фотона от источника к детектору, находящемуся под стеклом, состоит из пяти этапов. Давайте сжимать и поворачивать единичную стрелку по мере продвижения.
Первые три этапа будут такими же, как в предыдущем примере: фотон летит из источника к стеклу (поворот, сжатия нет), фотон проходит сквозь переднюю поверхность (поворота нет, сжатие до 0,98); фотон проходит стекло (поворот, сжатия нет).
Четвертый этап – когда фотон проходит сквозь заднюю поверхность стекла – ничем не отличается от второго этапа в том, что касается поворотов и сжатия: поворота нет, а сжатие до 0,98 от 0,98, т. е. длина стрелки становится 0,96.
Наконец, пятый этап – фотон опять летит по воздуху в детектор – это значит, что происходит еще поворот, но без дальнейшего сжатия. В результате получаем стрелку длиной 0,96, указывающую в некотором направлении, заданном последовательными поворотами часовой стрелки.
Стрелка длиной 0,96 соответствует вероятности около 0,92 (0,96 в квадрате), а это значит, что в среднем 92 фотона из каждых 100, вылетевших из источника, попадают в В. Это также значит, что 8 % фотонов отражаются от обеих поверхностей и попадают в А. Но в первой лекции мы обнаружили, что 8 %-ное отражение от двух поверхностей бывает крайне редко («дважды в сутки») – что в действительности отражение от двух поверхностей флуктуирует периодически от нуля до 16 %, по мере постепенного утолщения слоя стекла. Что происходит, когда стекло имеет как раз такую толщину, чтобы частичное отражение составило 16 %? Из каждых 100 фотонов, вылетевших из источника, 16 попадают в А, а 92 – в В, что дает в сумме 108 % света – ужасно! Что-то неправильно.
Мы пренебрегли рассмотрением всех путей, по которым свет мог попасть в В. Например, он мог отразиться от задней поверхности и подняться сквозь стекло наверх, как будто бы направляясь в А, но затем отразиться от передней поверхности и опять попасть в В (см. рис. 44). Эта траектория состоит из девяти этапов. Посмотрим, что последовательно происходит с единичной стрелкой в то время, как свет проходит каждый этап (не беспокойтесь, это только сжатия и повороты!).
Первый этап – фотон летит по воздуху (поворот, сжатия нет). Второй этап – фотон проникает в стекло (поворота нет, сжатие до 0,98). Третий этап – фотон летит в стекле (поворот, сжатия нет). Четвертый этап – отражение от задней поверхности (поворота нет, сжатие до 0,2 от 0,98, т. е. до 0,196). Пятый этап – фотон в стекле возвращается наверх (поворот, сжатия нет). Шестой этап – фотон отскакивает от передней поверхности (это на самом деле «задняя» поверхность, так как фотон остается внутри стекла) (поворота нет, но сжатие до 0,2 от 0,196, т. е. до 0,0392). Седьмой этап – фотон возвращается вниз по стеклу (еще поворот, сжатия нет). Восьмой этап – фотон проходит сквозь заднюю поверхность (поворота нет, а сжатие до 0,98 от 0,0392, т. е. до 0,0384). Наконец, девятый этап – фотон проходит по воздуху в детектор (поворот, сжатия нет).
Рис. 44. Чтобы вычисление было более точным, надо рассмотреть и другой возможный способ прохождения света через две поверхности. Этот способ включает два сжатия до 0,98 (этапы 2 и 8) и два сжатия до 0,2 (этапы 4 и 6), в результате чего получается стрелка длиной 0,0384 (округляем до 0,04).
В результате всех этих сжатий и поворотов получаем амплитуду длиной 0,0384 – для всех практических вычислений можно считать ее примерно равной 0,04 – и повернутую на угол, соответствующий полному повороту часовой стрелки за время движения фотона по этой более длинной траектории. Эта стрелка соответствует второму пути, по которому свет может попасть из источника в В.Теперь у нас имеются два альтернативных варианта, поэтому, чтобы провести результирующую стрелку, мы должны сложить две стрелки: стрелку для более короткого пути, длиной 0,96, и стрелку для более длинного пути, длиной 0,04.
Рис. 45. Природа всегда следит за тем, чтобы были учтены все 100 % света. Когда толщина такова, что одинаково направлены стрелки пропускания, стрелки отражения противоположны друг другу; когда одинаково направлены стрелки отражения, стрелки пропускания противоположны друг другу.
Обычно две стрелки направлены по-разному, потому что изменение толщины стекла влечет за собой изменение направления стрелки длиной 0,04 относительно стрелки длиной 0,96. Но посмотрите, как хорошо все получается: дополнительные обороты, сделанные часовой стрелкой во время движения фотона на этапах 3 и 5 (по пути к А), в точности равны дополнительным оборотам, сделанным за время движения фотона на этапах 5 и 7 (по пути в В). Это значит, что, когда стрелки отражения взаимно уничтожаются, давая результирующую стрелку, соответствующую нулевому отражению, стрелки пропускания света усиливают друг друга, давая результирующую длиной 0,96+0,04, или 1. То есть, когда вероятность отражения равна нулю, вероятность пропускания света равна 100 % (см. рис. 45). А когда стрелки отражения усиливают друг друга, давая амплитуду 0,04, стрелки пропускания света направлены противоположно, что дает амплитуду длиной 0,96–0,04, или 0,92. Следовательно, когда отражение должно быть равно 16 %, пропускание света должно быть равно 84 % (0,92 в квадрате). Видите, как умно придумала Природа свои правила – они гарантируют нам, что мы всегда получим все 100 % учитываемых фотонов!
[9]
