Мы попробуем на примере шахматной игры понять и оценить возможности теории энергетических ландшафтов. Попробуем чисто формально и систематически описать все конфигурации и позиции, возникающие на доске, и сопоставить с каждой конфигурацией точку на привычных нам диаграммах в двух координатах для двух фигур разного цвета, например, белой королевы и левого черного слона. Мы можем по каждой оси указать последовательно все клетки доски, т. е. перечислить их по номерам от 1 до 64 (желая быть последовательными, мы можем даже включить в рассмотрение и начало координат, точку 0, что будет означать отсутствие фигуры на доске). Затем мы можем по оси абсцисс указать положение белой королевы (например, БК в клетке 5), а по оси ординат — положение левого черного слона (например, ЛЧС на клетке 42) и т. д. В результате сочетание на доске двух фигур (белой королевы и левого черного слона) будет описываться точкой с координатами БК5, ЛЧС42 на квадратной решетке 64 х 64, что и показано на рис. 12.2, а справа вверху.
Такое описание, естественно, довольно сложно, так как для обозначения всех возможных позиций шахматных фигур на доске по этому методу нам понадобится 32 оси координат. Но вообще-то это обстоятельство если и создает сложности, то только для визуального представления, поскольку математики прекрасно умеют работать с такими многомерными пространствами. Каждая точка на такой сверхрешетке соответствует одному конкретному расположению всех фигур на шахматной доске.
Рис. 12.2. Каждая позиция на шахматной доске может быть представлена точкой на многомерной плоскости. Например, двумерная диаграмма на рисунке {а) описывает положение лишь двух упомянутых в тексте фигур, поэтому диаграмма для всех фигур должна содержать 32 оси координат. Создав аналогичную многочастичную диаграмму для всех атомов в спиновых стеклах и отложив по третьей оси соответствующую системам энергию, можно получить так называемый энергетический ландшафт системы (б).
Возвращаясь к рассматриваемой проблеме, отметим, что именно так можно сформулировать и задачу об энергии конфигурации спинов в упоминавшихся спиновых стеклах, когда их каждой конкретной комбинации (т.е. полной записи всех положений «вверх» и «вниз») соответствует некая точка на многомерной решетке. Число измерений решетки равно числу спинов в системе, и каждая конфигурация характеризуется собственной общей энергией, значение которой мы можем точно вычислить, суммируя все взаимодействия между парами соседних спинов (в каждой конкретной модели часть взаимодействий оказывается энергетически выгодной, часть — нет).
Следующим этапом моделирования становится введение еще одной оси, по которой откладываются вычисленные по этой модели значения общей энергии (основного параметра моделирования) системы в данной точке решетки. Общее решение задачи становится гораздо более удобным для анализа и наглядным, когда многомерная решетка сводится к двумерной, в результате чего картина приобретает привычный трехмерный вид, где каждая точка на плоскости соответствует конкретной конфигурации спинов, а высота — энергии этой конфигурации. Соединив для наглядности эти точки аппроксимирующей поверхностью, мы получаем некую топологическую карту, показывающую, как меняется энергия при изменении конфигурации спинов (рис. 12.2, б). Долины на такой карте соответствуют состояниям, когда небольшие флуктуации (т. е. перестановка небольшого числа спинов) очень слабо меняют общую энергию, что позволяет говорить о «локальной» устойчивости системы. Легко заметить, что любое движение из таких участков, соответствующее подъему по ландшафту, приводит к повышению энергии системы.
Для реальных спиновых стекол энергетический ландшафт обычно бывает очень изрезанным или неровным, т. е. содержит множество долин с относительно близкими значениями минимумов общей энергии (рис. 12.3, а). Совершенно иная картина наблюдается в стандартной модели Изинга для ферромагнетиков, когда существуют две четко выраженные долины (естественно, с одинаковой глубиной), соответствующие двум противоположным направлениям всех спинов системы одновременно. Изменение направленности нескольких спинов в этом случае приводит лишь к незначительному росту энергии, так что в окрестности минимумов этих долин системы остаются весьма устойчивыми.
Рис. 12.3. Энергетический ландшафт спинового стекла (а) содержит много долин и вершин, обладающих примерно одинаковыми значениями. На рисунке представлен разрез ландшафта, напоминающий обычный топографический профиль гористой местности. Аналогичный разрез для ферромагнетиков (6) выявляет лишь две долины одинаковой глубины, соответствующие равновесным состояниям, когда все спины направлены в одну сторону, все вниз или все вверх.
Напомним, что модель Изинга применима также к флюидам, которые могут превратиться в газ или жидкость. Таким образом, мы можем представить себе энергетический ландшафт для системы частиц, в которой координаты соответствуют различным пространственным конфигурациям частиц, а высота соответствует энергии состояний, определяемых силами взаимодействия между частицами. А это уже эквивалентно модели Аксельрода для союзов, в которых «частицы» собираются в кластеры, которые испытывают некоторую фрустрацию из-за внутренних противоречий.
БАЛАНС СИЛ
Аксельрод и его группа начали систематически изучать особенности энергетического ландшафта и долины устойчивости для разных систем взаимодействующих элементов (частиц, агентов, организаций и т.п.) по примеру физиков, для которых такие построения являются стандартной процедурой. Но физики при моделировании имеют дело с тысячами взаимодействующих частиц, что приводит к огромному числу возможных состояний и требует специальных математических приемов, позволяющих численными методами описывать такие ландшафты и траектории движения в них. Экономисты группы Аксельрода с большим успехом смогли применить эти же методы для рассмотрения конфигураций с куда меньшим числом элементов.
На первый взгляд может показаться, прежде всего из-за упомянутых фрустраций и аналогии со спиновыми стеклами, что энергетический ландшафт таких систем должен иметь сложный вид, напоминающий рис. 12.3, а. Однако картина значительно упрощается за счет того, что в экономике агенты не идентичны, как в тех же спиновых стеклах. Это означает, что некоторые сочетания сразу оказываются намного устойчивее других. Например, если в наборе агентов имеются две очень крупные конкурирующие фирмы, то они присоединяют к себе мелкие, в результате чего легко образуется устойчивое состояние. Как ни странно, но и существование нескольких крупных фирм способствует формированию устойчивых союзов. Наиболее нестабильна система с многими фирмами среднего размера, так как при этом небольшие изменения комбинаций могут приводить к значительным изменениям общего энергетического ландшафта.
