На первый взгляд кажется, что значения этих основных параметров (I и С) должны уменьшаться с ростом числа переключений в системе, так как в упорядоченных решетках падает степень кластеризации и увеличивается количество сквозных связей. Но все оказалось гораздо сложнее, так как в модели обнаружилось три сюрприза. Во-первых, результат в ней достигался очень быстро — примерно после десяти этапов преобразуемые графы можно считать практически случайными. Во-вторых, превращение упорядоченных графов в случайные происходит очень резко, что позволило Ваттсу сопоставить их с фазовыми переходами в статистической физике — формально можно считать, что упорядоченный, «кристаллический» граф при некоторых значениях параметра быстро переходит в неупорядоченное, «жидкое» состояние. Третьей неожиданностью стало то, что параметры L и С изменяются не одновременно и параллельно, а на разных стадиях (рис. 15.8).
Последнее обстоятельство наиболее знаменательно. В некоторой области (выделенной на рисунке серым цветом) характеристическая длина L уже становится очень малой и явно соответствует случайным графам, в то время как степень кластеризации С остается достаточно высокой (при небольшом увеличении числа переключений она затем так же резко уменьшается). Именно такая комбинация параметров характерна для малых миров. Например, круг друзей и знакомых существует и функционирует за счет сочетания высокой кластеризации и большого числа связей между кластерами, обеспечивающими очень короткую длину цепочки, отделяющей одного человека от другого, — шести степеней отдаления. Желая подчеркнуть особую роль таких промежуточных структур, Строгац и Ватте назвали их графами малых миров.
Рис. 15.8. Зависимость характеристической длины L и коэффициента кластеризации С от степени случайного переключения связей в круговом графе. Степень переключения связей характеризуется параметром р (см. текст), значения которого отложены по оси абсцисс в логарифмическом масштабе. Это означает, что зависимости при малых р «растянуты» для большей наглядности изменений L при небольшом числе переключений. Оба главных показателя (L и С) имеют высокие значения в исходном упорядоченном графе и очень малые — в конечном случайном графе. При переходе от исходного состояния к конечному эти величины меняются независимым образом, в результате чего возникают промежуточные графы с высокими значениями С и малыми значениями I, которые и соответствуют описываемым «малым мирам».
ЗНАКОМЫ ЛИ МЫ?
Полученные результаты очень интересны. Действительно ли реальный мир человеческих связей складывается из малых миров, описываемых графами со случайными переключениями? Другими словами, можно ли считать, что Стрѳгац и Ватте действительно доказали, что «мир очень тесен», так что не стоит удивляться, когда в очередной раз на вечеринке мы сталкиваемся со странными совпадениями и неожиданными знакомствами?
Похоже, что дело обстоит именно так. Игра в Числа Бэкона, с описания которой начиналась эта глава, при всей своей простоте оказалась очень удачной моделью социальных цепочек и связей. Более того, именно простота, однозначность и распространенность этой игры делают ее чрезвычайно удобной для анализа социальных связей. Как отмечалось, странным результатом игры было то, что она выявила очень низкое значение характеристической длины (среднее значение числа Бэкона оказалось очень небольшим) в графе, описывающем сеть отношений в мире кинематографа. В то же время мы наблюдаем высокую степень кластеризации. Кластеры образуют, например, актеры определенной национальности, связи между этими кластерами обеспечиваются «транснациональными» знаменитостями типа Брюса Ли (Гонконг), Жерара Депардье (Франция) или Гонг Ли (Китай).
В этом смысле сеть сообщества киноактеров соответствует малому миру. Но какова топология этой сети? Для ее оценки может быть использован параметр стягивания вершин, характеризующий число прямых соединений между удаленными вершинами графа. Этот параметр легко вычислить для разных сетей, и для рассматриваемого нами кругового графа он увеличивается с ростом числа случайных переключений связей. Строгац и Ватте построили модельную сеть с параметром стягивания, равным таковому для сети связей киноактеров, что говорит об их топологической схожести. Но насколько при этом совпадают другие основные параметры — характеристическая длина L и коэффициент кластеризации С?
Совпадение оказалось весьма удовлетворительным, т. е. модель случайного переключения связей гораздо лучше подходит для описания сети киноактеров, чем модели пещерных людей и страны Солярии. Но является ли предлагаемая авторами схема переключения единственным способом формирования сетей или графов с требуемыми характеристиками? Можно ли получить одновременно низкие значения параметра L и высокие значения С другим способом? Частичные ответы на эти вопросы читатель найдет в следующей главе.
Сейчас же обсудим другой животрепещущий вопрос: действительно ли Кевин Бэкон является центром вселенной кино? Для ответа на этот вопрос необходимо рассчитать среднее для сети число Бэкона и сравнить его с аналогичными данными для других актеров: числом Пресли, числом Богарта, числом Брандо и т.д. Если Кевин Бэкон является наиболее важной связующей осью сети, то все другие актеры будут в среднем ближе к нему, чем к кому-либо другому.
Результаты такого исследования показали, что Кевин Бэкон не только не является «центром Вселенной», он даже не входит в первую тысячу кандидатов на эту роль. Список возглавляет Род Стайгер (среднее число Стайгера — 2,652), за которым следуют Кристофер Ли, Деннис Хоппер, Дональд Плизенс и Дональд Сазерлэнд (кстати, именно он играл в киноверсии Шести степеней разлуки). Марлон Брандо занимает 202-е место, а знаменитый Фрэнк Синатра — 443-е. Сам Кевин Бэкон затерялся в обширной толпе, где разность в числах актера с соседями по списку составляет лишь около 0,0001.
Так почему же именно Кевин Бэкон был избран для этой игры? А почему нет? Теория малых миров утверждает, что в таких социальных сетях любой из членов сообщества является «центром». Разумеется, некоторые члены сообщества «центрее» других, но не принципиально. Даже не очень известному актеру, например, Эдди Альберту, соответствует сеть связей, вполне сравнимая с сетями «великих». Занимающий четвертое место в списке Дональд Плизенс был прекрасным актером, но он никогда не относился к звездам первой величины.
Эти результаты являются своеобразным символом всеобщего социального равенства — эгалитаризма. Если социальные сети напоминают сеть киноактеров (а такое предположение, как мы увидим далее, вполне правдоподобно), то не стоит очень сильно завидовать другим из-за различий в социальном статусе или жаловаться на ограниченность своего социального окружения. Все дело в выборе правильной «проекции», каждый из нас может оказаться центром сети, связывающей всех людей вместе.
