В 1925 году студент Ленца Эрнст Изинг сумел описать поведение такой модельной системы атомов в простейшем случае. Понятно, что кристаллическая решетка реального магнита представляет собой упорядоченную трехмерную структуру, в которой у каждого имеется достаточно много «соседей». Существенно проще выглядит двумерный магнит, в котором атомы располагаются в перекрестьях плоской решетки, и каждый атом имеет всего несколько «соседей». Изинг упростил модель расположения атомов до формально простейшего случая одномерного магнита, когда атомы располагаются вдоль прямой линии, и каждый из них может взаимодействовать лишь с двумя непосредственными «соседями». Разумеется, такой подход является крайним упрощением для описания реальных, обладающих объемом кусочков железа, поэтому полученные Изингом на основе расчета такой системы результаты сперва показались разочаровывающими, так как получалось, что фазовый переход в таких одномерных магнитах может происходить лишь при абсолютном нуле (-273 °С). Только в этом случае направления всех спинов совпадали, но при малейшем нагреве порядок нарушался, и одномерная цепочка теряла свою намагниченность.
Сам Изинг никогда и не пытался добиться в физике чего-то большего. Окончив университет, он стал школьным преподавателем физики в Германии, а затем (после принятия антисемитских законов Гитлера в 1938 году) эмигрировал в США, где продолжал преподавать физику и умер глубоким старцем в возрасте 98 лет. Но на его долю выпало поразительное научное бессмертие, так как позднее модели, основанные на представлениях о «решетке» атомных магнитов, не только получили широчайшее распространение в разных разделах статистической физики, но и получили название моделей Изинга, хотя саму модель предложил Ленц.
Огромное значение модели Изинга состоит в том, что она позволяет описать разрушение системы частиц, связанных короткодействующими силами или взаимодействиями между отдельными частицами при тепловом воздействии. Для создания более реалистических описаний явлений окружающего мира эту модель, естественно, следовало распространить хотя бы на двумерные системы. Эта задача оказалась настолько трудной, что над ней ученые трудились более двадцати лет.
Рис. 4.2. Модель Изинга, предложенная для описания магнитных материалов:
а) «магнитные стрелки», или спины атомов, могут иметь лишь два противоположных направления. Атомная решетка может быть одномерной, двумерной (как показано на рисунке) или трехмерной. В намагниченном состоянии направления всех спинов совпадают, а выше критической температуры (под воздействием нагрева) становятся случайными, в результате чего материал теряет намагниченность. Аналогичная модель может быть использована для описания фазовых переходов между жидкостью и газом, когда они в критической точке образуют единое состояние флюида;
б) модель с двумя видами узлов решетки: занятыми (что соответствует конденсированному, жидкому состоянию вещества) и незанятыми (газообразное состояние). Выше критической точки такое вещество существует во флюидном состоянии с промежуточной плотностью.
Для объяснения поведения двухмерной (2-D) решетки Изинга норвежскому физику JIapcy Онсагеру (1903-1976) пришлось придумать чуть ли не новый раздел математики, что удалось сделать только к 1942 году
[35]. Новая, двумерная модель магнита, напоминающая шахматную доску (рис. 4.2 а), в отличие от одномерной (1-D) не только позволяла получить фазовый переход от магнитного к немагнитному состоянию вещества при температурах выше абсолютного нуля, но и предсказывала критическую температуру перехода, значение которой было близко к точке Кюри для реальных магнитных материалов. Решения возникающих при этом задач оказались очень сложными, а разработка трехмерной модели, наиболее соответствующей физическим объектам, пока остается несбыточной мечтой теоретиков.
В наши дни ученые, сталкиваясь с неодолимыми задачами, не вздымают руки вверх, а опускают их на клавиатуру компьютера. Пусть алгебраические уравнения, описывающие трехмерную модель Изинга, пока не поддаются аналитическому решению, поведение 3-D систем можно моделировать на ЭВМ. В каком-то смысле это напоминает предсказания метеорологов, которые не могут точно решать сверхсложные уравнения, описывающие поведение атмосферных потоков, но могут приближенно рассчитать на компьютерах наиболее вероятные события. Поэтому неудивительно, что расчеты 3-D моделей Изинга чрезвычайно популярны в исследованиях фазовых переходов второго рода.
Однако необходимо еще раз обратиться к довольно сложному вопросу, почему ученые придавали столь большое значение аналогии между фазовыми переходами второго рода в жидкостях и магнитных материалах (физики называют их магнетиками). Конечно, в строении этих систем наблюдается некоторое общее сходство на атомарном уровне, однако нельзя не отметить и весьма существенные различия. Предположение, что эта аналогия означает нечто большее и решетка Изинга может использоваться в качестве грубой модели флюидов, высказал японский физик С. Оно в 1947 году, основываясь на присущей этим объектам «бинарности». Кстати, в двумерной модели читатель может представить себе вместо регулярной решетки атомов с противоположно направленными спинами (только вверх или вниз) эквивалентную, но гораздо более наглядную картину типа шахматной доски (рис. 4.2 б), в которой направления атомных спинов заменены цветом клеток или где темная клетка, например, соответствует занятому состоянию (или более плотному, жидкости), а светлая — незанятому (газообразному). Но задача заключается не только в выборе наглядных описаний, а содержит и более серьезные проблемы.
Дело в том, что между фазовыми переходами в этих двух разных системах обнаруживается довольное неожиданное и более глубокое сходство, о котором я упомяну здесь лишь в общих чертах (более подробно эти вопросы рассматриваются в гл. 10). Уже упоминалось, что при приближении к критической точке разница в плотностях жидкости и газа стремится к нулю. Более того, эту тенденцию можно описать количественно, т.е. точно вычислить, что если, например, при температуре, соответствующей 99% критической, отношение плотностей равно 2 (это означает, что плотность жидкости вдвое выше плотности газа), то при температуре 99,5% критической это отношение уменьшится до 1,5, и т.д. Для каждого флюида можно определить характеристическую скорость приближения к критической точке.
Сюрпризом для ученых оказалось, что почти так же ведут себя и магнитные материалы при приближении к точке Кюри (естественно, в них к нулю стремится не разность плотности, а общая намагниченность образца). Еще более неожиданным стало то, что скорости приближения к нулю этих разных характеристических параметров почти точно совпадают. Компьютерные расчеты для 3-D решеток Изинга показали, что и для них наблюдается аналогичная скорость «критического поведения», хотя решетка Изинга представляется всего лишь грубой моделью поведения флюидов и магнетиков. Эти три случая сильно различаются и по сути, и в деталях, но тем не менее демонстрируют совершенно одинаковые траектории «критического поведения».
