Модель НаШ позволяет нам понять, каким образом дорожные пробки могут формироваться без очевидных причин. Рассмотрим движение непрерывного потока машин, движущихся в метастабильном режиме свободного потока. Движение осуществляется непрерывно и быстро лишь до тех пор, пока один из водителей по случайным причинам (на дорогу выбежала собака, зазвонил мобильный телефон и т.п.) не изменит скорость движения. Математическое моделирование этого процесса включает внезапное уменьшение скорости и последующее незамедлительное ускорение для восстановления первоначальной скорости. Все длится одно мгновение, но посмотрите, как это отражается на потоке машин (рис. 7.3).
Рис. 7.3. Возникновение дорожного затора в метастабильном транспортном токе из-за случайного происшествия. Представлены результаты моделироваі зависимости положений машин вдоль шоссе (ось х) от времени t. Прямые лин направленные снизу вверх с уклоном вправо, показывают траектории движения шин, движущихся по шоссе с постоянной скоростью. Каждой машине, въезжаюі на участок шоссе (нижняя линия на рисунке, х = 0), соответствует отдельная лин Темные линии, пересекающие рисунок и обозначающие участки затора или ос новки движения, имеют форму изломов вдоль оси времени. Отдельное нарушеі в верхнем левом углу рисунка, вызванное, например, неожиданным торможені одной машины, приводит к массовым нарушениям всего режима движения, причем масштаб возникающего тесного потока постепенно возрастает.
Каждая линия на рисунке в направлении от левого нижнего угла к правому верхнему соответствует траектории движения отдельного автомобиля. Прямые наклонные линии означают движение машины с постоянной скоростью. Автомобиль, виртуально находящийся в верхней левой части рисунка, легко и свободно может притормозить, а затем набрать прежнюю скорость, однако следующие за ним машины (им соответствуют линии справа) оказываются в менее выгодном положении, поскольку они вынуждены сбавлять скорость, чтобы избежать столкновения. По всему потоку автомобилей пробегает волна торможений в форме излома. В этот процесс вовлекается множество машин, включая те, которые появляются на шоссе гораздо позже первичных событий. Возникает дорожная пробка, масштабы которой на рисунке отображаются степенью затемнения поперечных линий.
Более того, из рисунка видно, что в отличие от режима свободного потока, при котором пробка остается на месте своего зарождения, в метастабильном потоке нарушение начинает перемещаться вправо с некоторым смещением вниз, т. е. распространяется в направлении, противоположном общему движению потока. Другими словами, возникающий в одной точке затор способен спонтанно перемещаться в другие точки. Еще удивительнее тот факт, что пробка может расщепляться на несколько раздельных ветвей, в результате чего едущие далеко позади водителй могут натыкаться на целую серию пробок. Возникающие в метастабильном потоке скопления машин не рассасываются, а продолжают существовать и распространяться внутри потока. Общий вывод состоит в том, что очень незначительное рушение скорости одним-единственным водителем может создать мощи распространяющиеся волны заторов, полностью перекрывающие движеі на огромных магистралях.
Предлагаемый сценарий событий представляется весьма правдопод ным. Но модель НаШ является слишком упрощенной и излишне чувсті тельной к малым нарушениям в потоке, чтобы адекватно описывать < явления. Прежде чем перейти к анализу других моделей, рассмотрим данр наблюдений за ситуациями на дороге.
ТРИ ТИПА ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ
В 1965 году группа исследователей из университета штата Огайо, испо зуя аэрофотосъемку, тщательно изучила движение транспортных потоі на дорогах штата. При взгляде сверху они действительно наблюдали пр сказываемое моделью НаШ спонтанное возникновение заторов и их дальнейшее распространение против потока в форме своеобразной устойчивой волны (рис. 7.4). Как выяснилось, этот вид заторов возникает, в сущности, в результате избыточной реакции водителей, тормозящих более энергично, чем того требует реальная дорожная ситуация.
60 80 100 120 Время (секунды)
Рис. 7.4. Спонтанное возникновение заторов в реальном транспортном потоке. Диаграмма построена по правилам рис. 7.3, т. е. каждая линия относится к движению отдельного автомобиля. Излом в потоке движения несколько понижается слева направо, что соответствует распространению затора внутри потока.
Еще более полную картину движения по модели НаШ удалось получить в 1996 году немецким ученым Борису Кернеру и Хуберту Реборну из научно-технического отдела фирмы «Даймлер-Бенц» (в настоящее время «Даймлер—Крайслер») в Штутгарте, которые провели детальное изучение транспортного потока на участке важного и оживленного шоссе А5, связывающего немецкий Эссен со швейцарским Базелем. Шоссе особенно загружено вблизи Франкфурта, именно там были установлены спаренные датчики для измерения скорости каждой проходящей машины.
Полученная Кернером и Реборном картина почти точно соответствовала предсказаниям модели НаШ. Величина потока (пропускная способность) возрастала с ростом плотности потока, но после некоторого критического значения поток начинал захлебываться из-за многочисленных заторов. Легко заметить, что полученные экспериментальные данные (рис. 7.5) прекрасно соответствуют бифуркационной модели, представленной ранее на рис. 7.1 и 7.2.
Плотность потока (число машин на 1 км шоссе)
Рис. 7.5. Три типа дорожных потоков (свободный, тесный и свободный/метастабил ный), выявленные на основе наблюдений за реальным движением автотранспорта і немецкому шоссе А5. Цифры на рисунке соответствуют усредненному за 1 мину: числу машин на интервалах измерения 12 минут (подробности в тексте).
Естественно, у читателя возникнет вопрос, каким образом полученные статистические данные могут быть связаны с поведением отдельного водителя или использованы им на практике? На рис. 7.5 представлена сер* последовательно пронумерованных точек, каждая из которых соответствует измерениям параметров потока машин по шоссе в определенной точке с интервалом 3 минуты. В момент, соответствующий точке 1, движение предстаі ляет собой свободный поток с плотностью чуть выше критического значени составляющего около 20 машин на километр. Затем движение начина* несколько замедляться, оставаясь при этом на метастабильной ветви (точь 2 и 3), после чего неожиданно возникают пробки, практически останавлі вающие поток (точки 4, 5 и 6). Примерно через 10 минут движение вноі восстанавливается в режиме свободного потока. Примечательно, что точк характеризующие это движение, группируются возле критической точки (точка 12). Другими словами, движение после пробки восстанавливаете постепенно и лишь при значениях плотности ниже критической, что ясно указывает на наличие некоторого гистерезисного эффекта. История вновь оказывается необратимой — мы не можем повторить маршрут перехода ( точки 1 к точке 12 в обратном порядке.
