Попытка объяснения такого поведения электронов заставила исследователей гораздо шире взглянуть на все проблемы, связанные с системами из большого числа взаимодействующих частиц. В качестве грубой модели волн зарядовой плотности они предложили простую систему из множества качающихся маятников, соединенных дополнительно пружинками. Интересно, что такой подход удачно иллюстрирует методы теоретической физики вообще, так как хотя критические системы, финансовые рынки и сложно связанные маятники совершенно не похожи друг на друга, но математически они описываются очень похожими уравнениями, точно так же, как отдельный маятник является отличной моделью для любого периодического процесса.
Когда же исследователи написали полную систему ньютоновских уравнений движений для этой модели и решили ее на компьютере, они обнаружили удивительные факты. Колебания одного маятника, конечно, заставляли колебаться и несколько других (вследствие упомянутой связи через пружинки), однако такое взаимодействие было естественно ограничено некоторой областью, но затем на каком-то уровне взаимодействия картина существенно менялась, вследствие чего колебания отдельного маятника вдруг начинали воздействовать на всю систему в целом. При очень слабых взаимодействиях в системе один маятник, конечно, не мог заставить колебаться даже ближайшие к нему маятники, но в некоторых ситуациях колебания отдельного маятника вдруг вызывали «лавину», заставляя двигаться всю систему, независимо от ее размеров. Построив зависимость размеров лавин от частоты их возникновения, Бак и его коллеги обнаружили степенной закон распределения, доказательством чего служит прямая линия в логарифмических координатах (рис. 10.3).
Рис. 10.3. Степенной закон распределения вероятностей для размера лавин в математической модели «кучи песка». Построив зависимость в логарифмических координатах (логарифм размера лавин от логарифма их вероятности), можно легко получить наглядное доказательство степенной зависимости: прямую на рисунке, угол наклона которой равен показателю степенной зависимости. В представленном случае этот показатель близок к -1, что характерно для процессов с самоорганизующейся критичностью. Крупномасштабные события, соответствующие правой части графика, являются менее вероятными, поэтому статистика для них менее достоверна, и на графике появляются все более заметные зигзаги. Теоретическая идеальная прямая показана пунктиром.
Позднее та же команда физиков из Брукхейвена придумала еще одну красивую и интуитивно понятную модель связанного поведения в много- частичных системах. Им удалось заменить в уравнениях не очень наглядные маятники и пружинки на песчинки, составляющие некую кучу или горку (читатель может представить себе кучку песка, возникающую в песочных часах, или ту, которую он сам насыпает на столе). При некоторой высоте кучки, когда ее склоны становятся достаточно крутыми, добавление даже нескольких песчинок к вершине может вызвать осыпание всей кучки. До этого момента силы трения между песчинками могут удерживать частицы от взаимного смещения, но при некотором строго определенном значении угла наклона склонов (этот угол определяется, естественно, коэффициентом трения) вся система становится неустойчивой. Разумеется, дальнейший процесс более сложней и напоминает механизм цепной реакции, так как каждая частица в своем движении смещает другие и т. д. В зависимости от параметров и условий модели в такие лавины могут быть вовлечены десятки частиц, струи песчинок и целые участки кучек песка.
Существенным для темы этой главы является то, что в модели образования лавины не указаны конкретные следствия добавления конкретной песчинки — воздействие на соседние песчинки, начало процесса схода лавины на одном из склонов и т.д. Авторы предложили простую математическую модель кучи песчинок, исследовали ее поведение на ЭВМ и, замерив распределение песчаных лавин по размерам, показали, что оно описывается степенным законом, как показано на рис. 10.3. Очень большие лавины, конечно, происходят значительно реже, чем малые, однако теоретически возможно образование лавин любого размера. Другими словами, флуктуации кучи являются безмасштабными (в указанном смысле), что явно представляет собой некий аналог критического состояния.
С физической точки зрения ясно, что каждая лавина высвобождает внутренние «напряжения» в куче, уменьшая угол наклона и восстанавливая устойчивость системы. Особенностью модели является то, что восстанавливается только локальная устойчивость в заданный момент времени, так как любая следующая песчинка может стать триггером, спусковым механизмом для другой лавины на другом участке кучи. Такая система постоянно балансирует на грани очень шаткого равновесия, готового нарушиться в любой следующий момент, но не может уйти от этой грани на далекое расстояние. Именно поэтому физики назвали это критическое состояние самоорганизующимся, что принципиально отличает его от описанного ранее критического состояния газа и жидкости, которое можно было бы назвать самоуничтожающимся, поскольку оно подготавливает систему к мгновенному переходу при малейшем воздействии в одно из обычных, устойчивых состояний.
Модель песчаной кучи описывает неравновесное, но стационарное состояние. Неравновесность означает, что система постоянно меняется (хотя бы в силу изменения числа частиц, непрерывно добавляемых в систему), а стационарность — то, что система может оставаться в этом состоянии сколь угодно долго. Система не может вообще рассматриваться даже в качестве стремящейся к равновесию, так как постоянное падение песчинок на вершину кучи выступает в качестве внешней возмущающей силы. Описываемая самоорганизующаяся критичность является свойством именно этого класса неравновесных систем.
Обнаружение этого свойства стало одним из важнейших открытий статистической физики за последние два десятилетия, а его изучение уже привело к многим очень интересным и важным результатам. Тщательно изучая статистические данные, команда Пера Бака выявила степенной закон распределения вероятностей (основной признак существования самоорганизующейся критичности) в разнообразных природных явлениях. Возьмем в качестве примера землетрясения. Еще в 1940-х годах сейсмологи Бено Гутенберг и Чарльз Рихтер из Калифорнийского технологического института, изучив каталоги землетрясений в мировом масштабе и построив соответствующие графики, вдруг обнаружили степенной закон распределения их мощности. Долгие годы этому странному факту не удавалось найти никакого объяснения, пока к этим статистическим данным не был применен подход, основанный на самоорганизующейся критичности. Ситуация напоминает описанную модель, так как движения земной коры постоянно создают напряжения между тектоническими плитами. Время от времени это напряжение разряжается в виде землетрясений, приводящих к установлению временного и локального равновесия, однако затем напряжения начинают нарастать вновь. Обычно такие колебания имеют небольшой размах или даже сводятся к мелким толчкам, но иногда, как и полагается по модели, они могут «накапливаться», вследствие чего происходят чрезвычайно мощные тектонические сдвиги, приводящие к катастрофическим землетрясениям (Лос-Анджелес, Токио и т.п.).
