А вот другая разновидность того же фокуса – не менее мной любимая. Попросите кого-нибудь вооружиться калькулятором и загадать одно из следующих четырехзначных чисел:
3141, 2718, 2358 или 9999
Числа эти взяты не просто так: 3141 – первые четыре цифры числа π (см. главу 8), 2718 – первые четыре цифры числа e (см. главу 10), 2358 – цифры, соответствующие числам из последовательности Фибоначчи (см. главу 5), 9999 – самое большое из четырехзначных чисел. Затем нужно умножить выбранное вами число на любое трехзначное. Результат получится шести– или семизначным – и это все, что вы можете о нем знать. А теперь мысленно обведем кружком любую цифру ответа – любую, кроме ноля (он и без того похож на кружок!). Попросите своего зрителя назвать вам остальные цифры в любом порядке и сконцентрироваться на неназванной, обведенной кружком. Пора оглашать ответ – но для этого нужно приложить немного усилий.
В чем тут секрет? Начнем с того, что каждое из изначальных четырех чисел кратно 9. А раз вы начинаете с числа, кратного 9, и умножаете его на целое число, ответ тоже будет кратен 9. А еще сумма его цифр должна быть кратна 9. Поэтому надо просто сложить между собой числа, которые вам называют. Неназванная цифра – это число, которое необходимо прибавить к результату, чтобы он стал кратным 9. Например, зритель называет вам цифры 5, 0, 2, 2, 6 и 1. Их сумма равна 16 – до ближайшего числа, кратного 9 – а именно, 18 – не хватает 2. Если вы слышите цифры 1, 1, 2, 3, 5, 8, дающие в сумме 20, то зритель не назвал вам 7 – остаток, который необходимо добавить к 20, чтобы получить 27. А что, если сумма названных вам цифр уже равна 18 – что тогда нужно угадать? Правильно, 9: вы же просили не обводить кружком 0.
Почему же цифры, составляющие числа, кратные 9, в сумме всегда дают числа, тоже кратные 9? Посмотрите на такой пример: число 3456, разложенное на элементы с помощью умножения на 10, выглядит как
3456 = (3 × 1000) + (4 × 100) + (5 × 10) + 6 = 3(999 + 1) + 4(99 + 1) + 5(9 + 1) + 6 = 3(999) + 4(99) + 5(9) + 3 + 4 + 5 + 6 = (число, кратное 9) + 18 = число, кратное 9
Следуя той же логике, любое число, сумма цифр которого кратна 9, само должно быть кратно 9 (и наоборот: любое число, кратное 9, при сложении составляющих его цифр даст нам результат, кратный 9).
Вычисление вычета по модулю 9
А что, если сумма цифр нашего числа все-таки не кратна 9? Возьмем, например, число 3457. Следуя алгоритму, означенному чуть выше, мы можем представить 3457 (сумма цифр которого равна 19) как 3(999) + 4(99) + 5(9) + 7 + 12, то есть 3457 – это 7 + 12 = 19, что чуть больше, чем кратное девятке 18. А если 19 = 18 + 1, значит, и 3457 ровно на единицу больше ближайшего кратного 9 числа. К тому же выводу можно прийти, сложив цифры числа 19, потом – цифры числа 10, то есть вот какая последовательность у нас получается:
Процесс сложения между собой цифр числа и повторение этой операции до тех пор, пока не получится однозначное число, называется вычислением вычета по модулю 9, ведь на каждом этапе вы занимаетесь тем, что вычитаете число, кратное 9. Получаемое в итоге однозначное число называется цифровым корнем изначального числа. Например, числовой корень 3457 – 1, а 3456 – 9. Давайте попробуем вкратце суммировать все сказанное. Для каждого натурального n:
Если цифровой корень n равен 9, n кратно 9.
В ином случае цифровой корень будет равен остатку, получаемому от деления n на 9.
Алгебраически, обозначив цифровой корень числа n как r, получаем:
где x – целое число. Вычисление вычета по 9 – забавный способ проверить результаты, полученные в результате сложения, вычитания и умножения. Например, сумма верна, если ее цифровой корень равен сумме цифровых корней складываемых чисел. Хотите конкретнее? Давайте посчитаем
Обратите внимание, что цифровые корни слагаемых чисел равны 5 и 6, а цифровой корень их суммы (11) равен 2. И совсем не случайно, что цифровой корень результата (134 651) тоже имеет цифровой корень, равный 2. Причина всего это кроется в следующей алгебраической формуле:
(9x + r1) + (9y + r2) = 9(x + y) + (r1 + r2)
Если числа не совпадают, вы наверняка где-то ошиблись. И вот что важно: даже если числа совпадают, это еще не значит, что ответ верный, хотя в 90 % случаев проверка результата цифровыми корнями работает безотказно и позволяет быстро найти ошибку. Однако, случайно поменяв местами две цифры, вы этого не заметите, ведь сумма цифр от этого не изменится. А вот появление неправильного числа говорит об ошибке, если только ошибка не связана с заменой 0 на 9 или 9 на 0. Этот же метод можно использовать, когда нам нужно сложить друг с другом длинный столбец чисел. Представим, вы зашли в магазин и купили несколько продуктов по следующим ценам:
Складывая цифры результата, мы видим, что его цифровой корень – 5, а сумма цифровых корней равна 32, что подтверждает его правильность, потому что цифровой корень 32 – тоже 5. При проверке результата вычитания метод тоже отлично работает. Возьмем для примера те же числа, что были у нас в позапрошлом примере:
Разность будет равна 48 923, ее цифровой корень – 8. Работая с цифровыми корнями уменьшаемого и вычитаемого, видим, что 5 – 6 = –1. Но страшного в этом ничего нет – мы сделали все абсолютно правильно, потому что –1 + 9 = 8, да и прибавление (или вычитание) числа, кратного 9, к нашему ответу (или из нашего ответа) не меняет значение цифрового корня. По той же логике разница с 0 также верна при цифровом корне, равном 9.
А теперь неплохо было бы собрать вместе полученные нами знания и придумать еще один фокус (вроде того, который мы демонстрировали в предисловии). Просто следуйте инструкциям, хотите – с калькулятором, хотите – без.
1. Задумайте любое дву– или трехзначное число.
2. Сложите между собой его цифры.
