fm + n = fmfn + fm – 1fn – 1
А теперь рассмотрим другой пример. Что получится, если суммировать квадраты всех чисел Фибоначчи?
Ух ты! Здо́рово, правда? Сумма квадратов есть произведение двух последних чисел! Но зачем прибавлять сумму квадратов 1, 1, 2, 3, 5 и 8 к произведению 8 × 13? Лучший способ визуализировать это – взять шесть квадратов со сторонами 1, 1, 2, 3, 5 и 8 и расположить их так, как показано на схеме.
Берем один квадрат 1 на 1. Рядом с ним помещаем второй такой же. Получается прямоугольник 1 на 2. Под ним располагаем квадрат 2 на 2, и наш прямоугольник вырастает до 3 на 2. К его более длинной грани прибавляем квадрат 3 на 3 (получается прямоугольник 3 на 5); квадрат 5 на 5 отправляется вниз (получая прямоугольник 8 на 5), и, наконец, чертим самый большой квадрат, 8 на 8, тем самым заканчивая и прямоугольник 8 на 13. А теперь – простой вопрос.
Вопрос: Какова площадь большого прямоугольника?
Ответ 1: С одной стороны, это будет сумма площадей всех входящих в него квадратов, то есть 1² + 1² + 2² + 3² + 5² + 8².
Ответ 2: С другой стороны, высота большого прямоугольника равняется 8, длина же – 5 + 8 = 13, а значит, площадь – 8 × 13.
Так как оба эти ответа логически верны, они должны приводить нас к одному и тому же результату, который объяснит наше тождество. По большому счету, то, как мы строили этот прямоугольник, уже его объясняет – вместе со всеми отношениями между входящими в нее числами (я имею в виду 1² + 1² + 2² + 3² + 5² = 5 × 8). И если следовать этой логике и дальше, мы расширим наш прямоугольник сначала до 13 × 21, потом до 21 × 34 и т. д. до бесконечности. Общая формула выглядит так:
1² + 1² + 2² + 3² + 5² + 8² +… + Fn² = FnFn+1
Посмотрим, что произойдет при перемножении двух соседних чисел последовательности Фибоначчи. «Соседями» 5, например, являются 3 и 8. Их произведение равно 3 × 8 = 24, что лишь на единицу меньше 5². «Соседи» 8 – 5 и 13, которые при умножении друг на друга дают 65 – число, которое на единицу больше 82. Таблица, показанная ниже, подтверждает эту закономерность: в последовательности Фибоначчи произведение двух соседних с искомым чисел будет всегда отличаться на 1 от квадрата этого искомого. Другими словами,
С помощью метода доказательства (называемого также индукцией), о котором мы подробно поговорим в следующей главе, приходим к тому, что при n ≥ 1
Fn² – Fn–1 Fn+1 = (–1)n+1
А почему бы нам не пойти дальше, к дальним соседям? Возьмем число F5 = 5. Мы уже знаем, что его ближайшие «соседи» дают 3 × 8 = 24, что в шаге от 5². Но то же произойдет, если мы сделаем еще шаг влево и вправо по последовательности: 2 × 13 = 26, что так же в шаге от 5². А что насчет более отдаленных – на три, четыре шага – «соседей»? На пять, наконец? Получим 1 × 21 = 21, 1 × 34 = 34 и 0 × 55 = 0 соответственно. Насколько далеки эти результаты от 25? На 4, на 9 и на 25. Но это же квадраты натуральных чисел! Причем не всяких, а тех, что входят в последовательность Фибоначчи! Еще больше свидетельств этой закономерности – в таблице ниже, общая же формула выглядит так:
Еще несколько закономерностей чисел Фибоначчи
Говоря о треугольнике Паскаля, мы видели, насколько красивые в своей сложности закономерности демонстрируют его четные и нечетные числа. С последовательностью Фибоначчи все проще. Посмотрите на нее еще раз. Какие из этих чисел четные?
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…
F3 = 2, F6 = 8, F9 = 34, F12 = 144 и т. д. (в этом разделе мы снова переключимся на заглавную F, чтобы подчеркнуть красоту и значительность описанных здесь закономерностей). Позиции четных чисел – 3, 6, 9 и 12. Похоже, что интервал между ними всегда равен 3. Доказать это очень легко, достаточно просто проследить закономерность с самого начала последовательности:
нечетное, нечетное, четное
И дальше такой порядок повторяется вновь и вновь:
нечетное, нечетное, четное, нечетное, нечетное, четное, нечетное, нечетное, четное…
Происходит это потому, что после каждого блока «нечетное, нечетное, четное» следующий цикл сложения выглядит как «нечетное + четное = нечетное», потом «четное + нечетное = нечетное» и, наконец, «нечетное + нечетное = четное», так что закономерность бесконечно повторяется.
Говоря языком соотносимости, выученным нами в главе 3, каждое четное число соотносится с 0 (по модулю 2), а каждое нечетное – с 1 (также по модулю 2), а 1 + 1 ≡ 0 (mod 2). Вот как выглядит последовательность Фибоначчи в двоичной системе (или по модулю 2 – выбирайте любой термин):
1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0…
А что насчет чисел, кратных 3? Первые из них – F4 = 3, F8 = 21, F12 = 144, что волей-неволей наталкивает нас на мысль, что кратные 3 числа занимают в последовательности каждое четвертое место. Чтобы эту догадку подтвердить, заменим все числа Фибоначчи на 0, 1 или 2 и будем считать по модулю 3, где
1 + 2 ≡ 0, а 2 + 2 ≡ 1 (mod 3)
В троичной системе последовательность выглядит как
После каждого восьмого числа мы замыкаем круг и начинаем опять с двух следующих друг за другом единиц, то есть в этом случае цикл состоит из 8 чисел, четвертое и восьмое из которых – 0. Так и получается, что каждое четвертое место последовательности Фибоначчи занято числом, кратным 3. Считая по модулю 5, 8 или 13, обнаруживаем, что
