Теорема:√2 есть иррациональное число.
Доказательство: Предположим обратное: √2 есть число рациональное. В таком случае существуют некие положительные целые числа a и b, для которых верно, что
где дробь a/b – несократимая. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
или
что приводит нас к тому, что a² есть четное целое число. А если a² – четное, значит, четным является и a (по аналогии с недавним нашим доказательством того, что, если нечетное a умножить на само себя, результат будет также нечетным). То есть a = 2k, где k – целое число. Добавим это в свое уравнение и получим
То есть
что приводит нас к
и констатации того факта, что b² является четным числом. Значит, четным должно быть и b. Но постойте! Ведь при четных значениях как a, так и b дробь a/b никак не может быть несократимой! Это противоречит нашим исходным условиям. И завело нас в эту ловушку предположение, что √2 является рациональным числом. Поэтому нам не остается ничего иного, кроме как признать: число √2 – иррациональное.☺
Лично я нахожу это доказательство восхитительным (и смайлик в конце строки тому подтверждение): прямая и хорошо освещенная тропа чистой, ничем не замутненной логики приводит нас к удивительному умозаключению. В главе 12 мы еще увидим, насколько велик на самом деле процент иррациональных чисел. Практически все действительные числа являются иррациональными, притом, что в повседневной жизни мы с ними почти не сталкиваемся.
Из доказанной нами только что теоремы следует одно любопытное заключение (его, пожалуй, даже можно назвать сопутствующей теоремой – такой, условия которой вытекают из только что доказанной). Основано оно на следующем правиле возведения в степень, согласно которому для любых положительных значений a, b и c
То есть утверждение, что (5³)² = 56, будет вполне справедливым, потому что
(5³)² = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5) = 56
Сопутствующая теорема: Существуют иррациональные числа a и b, при которых число ab будет рациональным.
Не пугайтесь, нам эта теорема вполне по плечу, хоть мы и знаем пока лишь одно иррациональное число – √2. Приведенное ниже доказательство является, по сути, доказательством существования: мы же пытаемся просто узнать, есть ли вообще такие a и b, а не определить их конкретные числовые выражения.
Доказательство: Раз уж мы знаем, что √2 является иррациональным числом, возьмем число
Будет ли оно рациональным? Если да, то теорема доказана (поскольку и a и b равны √2). Если нет – что ж, по крайней мере мы узнаем еще одно иррациональное число
примем
и с помощью правила возведения в степень получим
то есть рациональное число. Следовательно, независимо от того, является
рациональным или иррациональным числом, мы докажем, что ab будет рациональным числом при иррациональных значениях a и b.☺
Так обычно и выглядит любое доказательство существования чего бы то ни было: почти всегда остроумно и очень редко – исчерпывающе. (Кстати, уж коли зашла речь: число
– все-таки иррациональное число, но сейчас это для нас абсолютно не принципиально.)
Куда больше удовлетворения (равно как и куда больше существенной информации) получаешь, идя путем конструктивного доказательства. Одно из них, к примеру, – доказательство того, что любое рациональное число a/b либо вовсе не имеет цифр после запятой, либо эти цифры повторяются (иными словами, в затянувшемся делении b раз за разом становится делителем того числа, что уже делилось). Но будет ли верным обратное? Само собой, конечная десятичная дробь должна быть рациональным числом. Например, 0,12358 = 12 358/100 000. А если эта дробь – допустим, 0,123123123… – периодическая? Должна ли она быть рациональным числом? Ответ – да, и вот вам очень элегантный способ это доказать. А заодно и найти это самое число. Обозначим искомое буквой w (как в английском слове waltz, которое означает «проще простого»), то есть
Умножим обе части на 1000:
вычтем первое уравнение из второго:
и получим
Возьмем еще одну периодическую десятичную дробь, но на этот раз такую, в которой цикл повторения начинается не с первой после запятой цифры, а чуть позже.
Какой обычной дроби будет соответствовать десятичная 0,83333…? Начнем с
