А если в пятой аксиоме предположить, что через точку P можно провести не одну, а две прямых, параллельных прямой l, мы придем к системе, которая называется геометрией Лобачевского, и ко всему многообразию ее удивительных теорем. Многие художники – такие, скажем, как Мауриц Эшер
[19] или Дуглас Данхэм
[20] – используют ее для создания завораживающих графических композиций; последний, к слову сказать, любезно позволил мне показать вам одно из своих творений:
Конечно же, пятью аксиомами, сформулированными Евклидом, геометрия не ограничивается, поэтому не удивляйтесь, если на этих страницах вы найдете и другие. Ну а поскольку эта книга – отнюдь не учебник, мы, пожалуй, не будем тратить время на обстоятельное доказательство прописных истин и объяснение элементарных понятий, тем более с нуля. Я очень высокого мнения о своем читателе и считаю аксиомой, что он помнит со школы (или просто знает), что такое точка, прямая, угол, круг, периметр, площадь и так далее. К тому же я по мере сил буду избегать профессиональной лексики и всяких специфических и понятных, пожалуй, только математику, обозначений – ведь в центре нашего внимания не наука как таковая, но ее магия, способная затронуть струны любой, даже самой далекой от геометрии, души.
Я абсолютно уверен, например, что вы уже знаете (ну или готовы принять на веру), что градусов в любом круге ровно 360 и что обозначается это как 360°. А любой находящийся в этом круге угол, таким образом, будет равен значению от 0° до 360°. Представьте себе стрелки часов, сходящиеся в самом центре циферблата. В час дня или ночи стрелки располагаются так, будто «отрезают» от круга одну двенадцатую – значит, угол между ними равен 30°. В три часа стрелки «отрежут» уже четверть круга
и образуют угол 90° (такой угол называется прямым, а прямые или лучи, которые его образуют, – перпендикулярными друг другу). Прямая же линия, которую образуют стрелки ровно в шесть часов, образует угол 180°.
А вот одно очень полезное и часто встречаемое на практике обозначение: отрезок прямой, лежащий между точками A и B, выглядит в записи как AB. Если же вам нужно оперировать его длиной, черточку сверху ставить не нужно: длина отрезка AB составляет AB.
Две прямые при пересечении всегда образуют четыре угла. Взгляните на рисунок – что вы видите? Видите, что два прилежащих (смежных) угла (a и b, например) образуют линию? Такие углы называются дополнительными (потому что дополняют друг друга до 180°, которые нам дает линия).
Это справедливо в отношении всех четырех пар смежных углов, то есть
a + b = 180°
b + c = 180°
c + d = 180°
d + a = 180°
Если вычесть второе уравнение из первого, получится, что a – c = 0. Следовательно,
А вычитание третьего уравнения из второго приведет нас к
Так у нас получаются еще две пары углов – a и с и b и d, которые называются вертикальными. Ну а теорему вертикальных углов, утверждающую их равенство, мы с вами только что доказали.
Осторожно, двери закрываются! Следующая остановка – доказательство того, что сумма углов абсолютно любого треугольника равна 180°. Но сначала – несколько фактов о параллельных прямых. Две прямые считаются параллельными, если они никогда – ни на видимом отрезке, ни в бесконечности – не пересекаются. Посмотрите на рисунок: вот две параллельные прямые (l1 и l2), а вот – третья прямая (l3), непараллельная им и, следовательно, пересекающая их в точках P и Q соответственно. Приглядитесь чуть внимательнее: l3 «разрезает» l1 и l2 абсолютно одинаково, под одним и тем же углом, то есть a = e. Углы a и e в таком случае являются соответственными (равно как b и f, c и g, d и h). Равенство их настолько очевидно, что вполне может считаться аксиоматичным, хотя и не может быть доказано ни одним из пяти евклидовых постулатов. Значит, теперь у нас есть новая аксиома.
Аксиома соответственных углов: Соответственные углы всегда равны.
В соединении с теоремой вертикальных углов аксиома говорит нам, что, согласно рисунку выше,
a = c = g = e
b = d = h = f
(Книги по математике в большинстве своем предлагают специальные названия для каждой из возможных пар: углы a и g, например, образующие фигуру, которая напоминает латинскую букву Z, называются внутренними накрест лежащими.) Эти равенства говорят нам, что любой из этих 8 углов равен своему парному вертикальному, своему парному соответственному и своему парному внутреннему накрест лежащему. Понимание этого нужно нам, чтобы доказать одну из основных теорем геометрии.
Теорема: Сумма углов любого треугольника равна 180°.
Доказательство: Возьмем треугольник ABC (см. рисунок) с углами a, b и c. Через его вершину (то есть точку B) проведем прямую, параллельную его же основанию (то есть прямой, проходящей через точки A и С).
Образовавшиеся при этом углы d и e вместе с углом b образуют линию, поэтому d + b + e = 180°. Обратите внимание, что углы a и d и углы c и e при этом являются внутренними накрест лежащими, следовательно, d = a, а e = c, что приводит нас к a + b + c = 180°, что и требовалось доказать.
