Конкретное количество цифр в ответе легче всего определить, взглянув на начальные (крайние левые) цифры перемножаемых чисел. Если их произведение больше или равно 10, тогда в ответе будет m + n цифр (например, в 271 × 828 произведение крайних левых цифр – 2 × 8 = 16 – больше десятки, поэтому ответом будет шестизначное число). Если произведение крайних левых цифр меньше или равно 4, тогда в ответе будет m + n – 1 цифр (например, 314 × 159 будет иметь пятизначный ответ). Ну а на случаи, в которых произведение крайних левых цифр будет равняться 5, 6, 7, 8 или 9, нам придется посмотреть чуть более внимательно. Например, произведение 222 и 444 – пятизначное, а вот 234 и 456 – шестизначное. Но куда важнее то, что оба ответа очень близки к 100 000.
В результате у нас получается еще более простое правило, уже в отношении деления: деление m-значного числа на n-значное даст число, в котором m – n или m – n + 1 знаков.
То есть девятизначное число, разделенное на пятизначное, даст нам четырех– или пятизначный результат. Правило определения более конкретного ответа здесь еще проще, чем в случае с умножением. Крайние левые цифры не нужно ни умножать, ни делить – достаточно их просто сравнить. Если крайняя левая цифра делимого меньше крайней левой цифры делителя, в частном будет меньшее количество цифр (m – n). Если же крайняя левая цифра делимого больше крайней левой цифры делителя, в частном будет больше (m – n + 1) цифр. Если же цифры обоих чисел одинаковые, смотрим на следующие после них цифры и применяем то же правило. Например, в результате деления 314 159 265 на 12 358 мы получим пятизначное число, а на 62 831 – четырехзначное. Деление 161 803 398 на 14 142 даст пятизначный ответ, потому что 16 больше 14.
Рассказывать в подробностях про процесс деления в уме я здесь не буду: он мало чем отличается от деления в столбик на бумаге (но каким бы методом вы ни воспользовались, считать нужно слева направо). Но есть парочка уловок, которые значительно облегчат вам жизнь.
Скажем, если вы делите на 5 (или на любое число, заканчивающееся на 5), удвойте числитель и знаменатель, и задача станет проще. Например,
После удвоения обоих чисел хорошо видно, что и 246, и 9 кратны 3 (мы поговорим об этом подробнее в главе 3), поэтому задача упрощается до деления отдельно числителя и знаменателя на 3.
Отступление
Взгляните на взаимно обратные числа для чисел от 1 до 10:
1/2 = 0,5; 1/3 = 0,333…; 1/4 = 0,25; 1/5 = 0,2;
1/6 = 0,1666…; 1/8 = 0,125; 1/9 = 0,111…; 1/10 = 0,1
Все дроби здесь либо конечны, либо цифры в них начинают повторяться со второго знака после запятой. Единственным исключением является десятичная дробь от 1/7, повторение в которой начинается с седьмой цифры:
1/7 = 0,142857142857…
(Причина этой закономерности в том, что все другие числа от 2 до 11 делятся на 10, 100, 1000, 9, 90 или 99, ближайший же делитель для 7 – 999 999.) Если же записать цифры десятичного аналога 1/7 в виде круга, произойдет чудо:
Что интересно, все другие дроби со знаменателем 1/7 тоже могут воссозданы с помощью бесконечного движения по этому кругу – меняться будет только точка начала этого движения. Посмотрите сами:
1/7 = 0,142857142857…; 2/7 = 0,285714285714…;
3/7 = 0,428571428571…; 4/7 = 0,571428571428…;
5/7 = 0,714285714285…; 6/7 = 0,857142857142…
Давайте закончим эту главу тем же вопросом, который мы уже задавали несколько страниц назад. Чему будет равняться сумма всех чисел в таблице умножения? На первый взгляд звучит пугающе – так же, как и попытка найти сумму первых ста чисел. Но знакомство со всеми описанными выше замечательными закономерностями, которые так ловко заставляют числа танцевать, значительно повышают наши шансы легко и красиво найти правильный ответ.
Начнем с первого ряда – посчитаем сумму всех чисел в нем. Можно – как Гаусс, можно – с помощью формулы треугольных чисел, а можно – путем обычного сложения:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55
Так, теперь второй ряд. Вот как это будет выглядеть:
2 + 4 + 6 +… + 20 = 2 (1 + 2 + 3 +… + 10) = 2 × 55
По той же логике, 3 ряд будет равен 3 × 55. И так далее, и тому подобное, и в результате сумму всех чисел в таблице умножения можно подсчитать так:
(1 + 2 + 3 +… + 10) × 55 = 55 × 55 = 55²
Ну а возвести в уме 55 в квадрат вы теперь можете легко и просто… 3025!
Глава номер два
Магия алгебры
Вступление с чудесами
Первый раз я столкнулся с алгеброй еще в детстве – мой отец вдруг решил дать мне урок вычислений:
– Сын, – сказал он мне. – Алгебра – все равно что арифметика. За тем исключением, что вместо чисел ты пишешь буквы. Вот, смотри: 2х + 3х = 5х, а 3у + 6у = 9у. Понимаешь?
– Вроде, понимаю.
– Очень хорошо, – сказал он. – А сколько тогда будет 3β + 4β?
– 7β, – уверенно ответил я.
– Что-то я тебя не слышу, – посетовал папа. – Можешь погромче?
– СЕМЬБЕТА!!! – заорал я.
– И ни одного ответа! – с готовностью отозвался папа. Он всегда предпочитал каламбуры, шутки и забавные истории скучным вычислениям, так что такой исход я мог бы и предвидеть.
Второй раз алгебра улыбнулась мне, когда я пытался понять один магический трюк – сейчас расскажу, какой.
Шаг 1. Задумайте число от 1 до 10 (хотя, по большому счету, можно и большее).
Шаг 2. Умножьте это число на 2.
Шаг 3. Добавьте 10.
Шаг 4. Разделите на 2.
Шаг 5. Вычтите из результата изначально задуманное вами число.
Уверен, получилось 5. Правильно?
Хотите узнать, в чем кроется секрет волшебства? В алгебре. Разберем фокус еще раз, шаг за шагом, начиная с первого. Я понятия не имею, какое число вы загадали, поэтому давайте заменим его буквой N. Неизвестное число, обозначаемое буквой, называется переменной.
