Разделив всех члены уравнения на xn и перенеся первый член в другую часть уравнения, получаем
что и требовалось доказать.◻
Следовательно, если y = 1/x = x–1, то y' = −1/x², если y = 1/x² = x–2, то y' = −2x–3 = −2/x³, и т. д.
Помните, в 7 главе мы искали такое положительное значение x, при котором функция
показала бы минимальное значение? Тогда мы нашли решение с помощью геометрии, показав, что результат может быть достигнут при x = 1. Но можно решить эту задачу значительно проще: это значит, что y' = 0, это дает нам 1 – 1/x² = 0, а единственная положительная величина, которая удовлетворяет этому условию, – x = 1.
Что касается тригонометрических функций, то их дифференцировать ничуть не сложнее. Обратите внимание, что для доказательства следующей теоремы нам нужно, чтобы углы были выражены в радианах.
Теорема: Если y = sin x, то y' = cos x, а если y = cos x, то y' = –sin x. Другими словами, производная синуса равна косинусу, а производная косинуса – синусу со знаком минус.
Отступление
Доказательство: Для доказательства нам потребуется следующая лемма (лемма – это подсобная, подготовительная теорема, с помощью которой можно доказать более сложное и серьезное утверждение).
Лемма:
Здесь утверждается, что значение любого угла h, равного чуть больше, чем 0 (в радианах), будет близко к значению h, в то время как значение косинуса будет близко к 1. С помощью калькулятора, например, можно выяснить, что sin 0,0123 = 0,0122996…, а cos 0,0123 = 0,9999243…. С помощью этой леммы можно продифференцировать любой синус или косинус. Тождество sin (A + B) из главы 9 говорит нам, что
А так как h → 0, то, согласно нашей лемме, это уравнение превращается в (sin x)(0) + (cos x)(1) = cos x. Подобным же образом
И снова h → 0 дает нам (cos x)(0) – (sin x)(1) = –sin x, что и требовалось доказать.◻
Отступление
То, что
можно доказать с помощью такого вот графика:
На единичной окружности, часть которой изображена выше, R = (1, 0), а P = (cos h, sin h), где h есть небольшой угол с положительным значением. В прямоугольном треугольнике OQR
Рассмотрим сектор OPR, имеющий клинообразную форму. Площадь единичной окружности равна π1² = π, сектор OPS – ее часть, выражаемая дробью h/(2π). Следовательно, площадь сектора OPR составляет π(h/2π) = h/2.
Так как сектор OPR содержит в себе треугольник OPS, а тот, в свою очередь, – треугольник OQR, сравнение их площадей дает нам
Для положительных значений a, b и c, если a < b < c, то 1/c < 1/b < 1/a. Следовательно,
А так как h → 0, и cos h, и 1/cos h будут стремиться к 1, что и требовалось доказать.
◻
Отступление
С помощью полученного результата и нескольких алгебраических формул (включая cos² h + sin² h = 1) можно доказать, что
Производные синуса и косинуса – ключи к дифференцированию тангенса.
Теорема: Если y = tan x, то y' = 1/(cos²x) = sec²x.
Доказательство: Предположим, что u(x) = tan x = (sin x)/(cos x). Тогда
Продифференцировав обе части и применив правило дифференцирования произведения функций, получим
tan x (–sin x) + tan' (x) cos x = cos x
