и т. д. Общая же сумма составит не больше, чем
Таким образом, гармонический ряд без девяток будет сходиться к величине, не превышающей 80.◻
Секрет в том, что в этом ряду почти все большие величины обязательно будут иметь девятку. Если загадать случайное число (то есть число со случайным порядком случайных цифр), вероятность того, что среди первых n знаков не появится цифра 9, будет равна (9/10)n, и она будет стремиться к нулю по мере увеличения значения n.
Отступление
Давайте посмотрим на числа π и e как на случайный набор цифр. Существует теоретическая вероятность, что рано или поздно среди них вам встретится ваше любимое целое число. Например, мое любимое 2520 – это знаки с 1845 по 1848 числа π. Первые 6 чисел Фибоначчи – 1, 1, 2, 3, 5, 8 – появляются вновь, начиная с 820 390 позиции. Удивительного тут на самом деле ничего нет: шансы, что идущие подряд 6 цифр совпадут со случайным шестизначным числом, – один к миллиону. А так как среди первого миллиона знаков у нас примерно один миллион шестизначных последовательностей, наши шансы не так уж и малы. С другой стороны, удивителен тот факт, что число 999 999 появляется в π сравнительно скоро, уже на 763 знаке. По этому поводу физик Ричард Фейнман как-то заметил, что если бы он помнил и воспроизводил первые 767 знаков, люди бы верили в то, что π – число вполне себе рациональное, ведь он заканчивал бы словами «Девять, девять, девять, девять, девять, девять и т. д.!».
Представляете, существуют даже специальные программы (в том числе и онлайн), которые ищут придуманные вами последовательности цифр среди знаков π и e. Испытывая одну из них, я с удивлением обнаружил, что знаки числа π, начиная с трехтысячного, выглядят как 31961 – день моего рождения, 19 марта 1961 года
[36]!
Бесконечно занимательные и бесконечно невозможные бесконечные суммы
Давайте суммируем все, что нам на настоящий момент известно о суммах.
В начале главы мы выяснили, что
и поняли, что это – особый случай геометрического ряда, в котором при любом значении x (при условии, что –1 < x < 1)
Все это верно и для отрицательных величин от 0 до –1. Например, при x = –1/2 получаем
Ряд, в котором постоянно чередуются положительные и отрицательные величины, с каждым шагом приближающиеся к нулю, называется знакочередующимся. Он всегда сходится. Чтобы представить его более наглядно, начертите оси координат и поставьте палец в точку ноля. А теперь перемещайте палец таким образом: сначала вправо на единицу, потом влево на 1/2, вправо на 1/4 (проверьте себя – к этому моменту вы должны быть на точке 3/4), влево на 1/8 (на точку 5/8) и т. д. Рано или поздно ваш палец остановится на одной точке – 2/3 – и не сможет никуда с нее деться.
Возьмем другой знакочередующийся ряд:
После четвертого члена нам становится понятно, что бесконечная сумма составит минимум 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 = 7/12 = 0,583…, после пятого – максимум 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 = 47/60 = 0,783…. Истина, как всегда, кроется где-то посередине – 0,693147…. С помощью исчисления мы можем найти действительное значение этого числа.
Чтобы размяться, возьмем следующий ряд
и посмотрим, что будет, если продифференцировать обе его части. Помните, в главе 11 мы определили, что производные 1, x, x2, x3, x4 и т. д. равны соответственно 0, 1, 2x, 3x2, 4x3 и т. д.? Получается, что производная бесконечной суммы есть (бесконечная) сумма производных. А теперь применим цепное правило, чтобы продифференцировать (1– x)–1. При –1 < x < 1 получаем
Посмотрим на другой ряд, заменив x на – x. При –1 < x < 1
Найдем для обеих сторон антипроизводные (или первообразные), то есть займемся тем, что называется интеграцией. Чтобы это сделать, двинемся назад: например, если производная x² – 2x, то первообразная 2x – x². (Специально для тех, кто любит «погорячее»: производная x² + 5, x² + π или x² + c при любом значении c также равна 2x, поэтому первообразная 2x – и на самом деле x² + c.) Значит, первообразными 1, x, x², x³, x4 и т. д. будут соответственно x, x2/2, x3/3, x4/4, x5/5 и т. д., а первообразной 1/(1 + x) – натуральный логарифм 1 + x. То есть при –1 < x < 1
(Постоянная величина слева – 0, потому что при x = 0 нам нужно, чтобы левая часть соответствовала ln 1 = 0.) Так как x стремится к единице, мы получаем натуральное значение 0,693147…, а именно
