Однако у загадочной эффективности математики есть и «пассивная» сторона, столь неожиданная, что напрочь затмевает «активную». Понятия и отношения, которые математики изучают ради чистой науки, даже и не думая об их практическом применении, спустя десятки, а иногда и сотни лет нежданно-негаданно оказываются решениями задач, которые коренятся в физической реальности! Как такое может быть? Возьмем, к примеру, довольно забавный случай с чудаковатым британским математиком Годфри Гарольдом Харди (1877–1947). Харди так гордился, что в его трудах не содержится ничего, кроме чистой математики, что подчеркивал в своей знаменитой книге «Апология математика», опубликованной в 1940 году: «Я никогда не делал ничего “полезного”. Ни одно мое открытие не способствовало ни прямо, ни косвенно увеличению или уменьшению добра или зла и не оказало ни малейшего влияния на благоустроенность мира (здесь и далее пер. Ю. Данилова)» (Hardy 1940). Так вот, представляете, он ошибся! Один из его трудов получил второе рождение под названием «Закон Харди-Вайнберга» (в честь Харди и немецкого врача Вильгельма Вайнберга (1862–1937)) – это основополагающий принцип, на который опираются генетики при изучении эволюции популяций. Говоря простыми словами, закон Харди-Вайнберга гласит, что если спаривание в большой популяции происходит совершенно случайно (и нет ни миграции, ни мутаций, ни селекции), то генетический состав от поколения к поколению не меняется
[3]. Даже отвлеченный на первый взгляд труд Харди по теории чисел – исследование свойств натуральных чисел – нашел неожиданное практическое применение. В 1973 году британский математик Клиффорд Кокс применил теорию чисел, чтобы совершить прорыв в криптографии – науке о разработке шифров, и изобрел уникальный криптографический алгоритм
[4]. Алгоритм Кокса отправил на свалку истории другое утверждение Харди. В той же «Апологии математика» Харди заявил: «Никому еще не удалось обнаружить ни одну военную или имеющую отношение к войне, задачу, которой служила бы теория чисел». Очевидно, что он в очередной раз впал в заблуждение. Шифры играют определяющую роль в военном деле, без них невозможно налаживать связь. Так что даже Харди, один из самых ярых критиков прикладной математики, оказался против собственной воли (будь он жив, он бы наверняка визжал и отбивался) вовлечен в число создателей полезных математических теорий.
Но все это лишь верхушка айсберга. Кеплер и Ньютон обнаружили, что планеты нашей Солнечной системы описывают орбиты в форме эллипсов – тех самых кривых, которые на 2000 лет раньше изучал древнегреческий математик Менехм (ок. 350 г. до н. э.). Геометрии нового типа, которые описал Георг Фридрих Бернхард Риман (1826–1866) в своей классической лекции, прочитанной в 1854 году, как выяснилось, сослужили важнейшую службу Эйнштейну – именно они позволили описать ткань мироздания. Математический «язык» под названием «теория групп», разработанный юным гением Эваристом Галуа (1811–1832) исключительно ради того, чтобы определять, имеются ли у тех или иных алгебраических уравнений корни среди целых чисел, стал сегодня языком физиков, инженеров, лингвистов и даже антропологов, позволяющим описать все симметрии на свете
[5]. Более того, концепция закономерностей математической симметрии в известном смысле перевернула с ног на голову весь научный метод. На протяжении столетий путь к пониманию устройства мироздания начинался со сбора экспериментальных или наблюдательных фактов, после чего ученые методом проб и ошибок пытались сформулировать общие законы природы. Работа должна была начинаться с локальных наблюдений, после чего мозаику приходилось собирать по кусочкам. Когда в ХХ веке стало понятно, что структуру субатомного мира определяют четкие математические закономерности, современные физики стали поступать диаметрально противоположным образом. Они сначала привлекают принципы математической симметрии и настаивают, что законы природы и, разумеется, кирпичики, из которых состоит вещество, должны подчиняться определенным закономерностям, и выводят из этих предпосылок общие законы. Но откуда природа знает, что ей положено следовать абстрактным математическим симметриям?
В 1975 году Митч Фейгенабаум, который тогда был молодым специалистом по математической физике в Национальной лаборатории в Лос-Аламосе, играл со своим карманным калькулятором HP-65. Он изучал поведение одной простой функции. И обнаружил, что последовательность чисел, получавшаяся в результате вычислений, устремляется все ближе и ближе к определенному числу – 4,669…
[6]. Когда Митч изучил некоторые другие уравнения, то, к своему изумлению, обнаружил, что и там появляется то же самое загадочное число. Вскоре Фейгенбаум сделал вывод, что открыл некую универсальную закономерность, которая каким-то образом знаменует переход от порядка к хаосу, хотя объяснения этому найти не мог. Неудивительно, что поначалу физики отнеслись к этому весьма скептически. И в самом деле, с какой стати одно и то же число должно характеризовать поведение разных на первый взгляд систем? Первая статья Фейгенбаума проходила рецензирование в течение полугода, после чего ее отклонили. Однако довольно скоро эксперименты показали, что если нагревать жидкий гелий снизу, он ведет себя именно так, как предсказывает универсальное решение Фейгенбаума. Как выяснилось, так себя ведут и многие другие системы. Удивительное число Фейгенбаума возникало и при переходе от упорядоченного течения жидкости или газа к турбулентности и даже в поведении воды, капающей из крана. Перечень подобных случаев, когда математики «предвосхищали» потребности различных дисциплин на несколько поколений вперед, все пополняется и пополняется. Среди самых поразительных примеров загадочного и неожиданного взаимодействия между математикой и реальным (физическим) миром – история создания математической теории узлов. Математический узел похож на обычный узел на тонком шнуре, концы которого намертво сращены. То есть математический узел – это замкнутая кривая без свободных концов. Как ни странно, первоначальный толчок развитию математической теории узлов дала ошибочная модель атома, разработанная в XIX веке. Когда эту модель отвергли – спустя всего 20 лет после создания, – теория узлов стала разливаться дальше как сравнительно малоизвестная отрасль чистой математики. Невероятно, но факт: в наши дни это абстрактное начинание неожиданно нашло широчайшее применение в самых разных областях исследований – от молекулярной структуры ДНК до теории струн, попытки объединить субатомный мир с гравитацией. К этой восхитительной истории я еще вернусь в главе 8, поскольку ее циклическая структура, пожалуй, лучше всего показывает, как из попыток объяснить физическую реальность возникают отрасли математики, которые затем уходят в область отвлеченной математики, однако впоследствии неожиданно возвращаются в реальность.
