Из-за явных недостатков аксиомы выбора математики задались вопросом: неужели нельзя либо доказать, либо опровергнуть эту аксиому через остальные аксиомы. История с пятым постулатом Евклида повторилась буквально. Ответить на этот вопрос отчасти удалось в конце 1930 годов. Это сделал Курт Гёдель (1906–1978), один из самых влиятельных логиков всех времен: он доказал, что аксиома выбора и другая знаменитая поправка, принадлежащая основателю теории множеств Георгу Кантору – континуум-гипотеза – не противоречат другим аксиомам Цермело-Френкеля
[135]. То есть получалось, что ни ту ни другую гипотезу нельзя опровергнуть при помощи других стандартных аксиом теории множеств. Дополнительные доказательства получил в 1963 году американский математик Пол Коэн (1934–2007), скончавшийся, увы, в то время, когда я писал эту книгу. Он установил, что аксиома выбора и континуум-гипотеза полностью независимы друг от друга (Cohen 1966). Иначе говоря, аксиому выбора нельзя ни доказать, ни опровергнуть при помощи других аксиом. Подобным же образом и континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть при помощи тех же самых аксиом, даже если включить в них аксиому выбора.
У этого уточнения были колоссальные философские последствия. Как и в случае неевклидовых геометрий в XIX веке, оказалось, что нет никакой одной-единственной, окончательной теории множеств, – на самом деле их как минимум четыре! Если придерживаться разных представлений о бесконечных множествах, можно получить взаимоисключающие теории множеств. Скажем, если решить, что верны и аксиома выбора, и континуум-гипотеза, получишь одну версию, а если решить, что обе неверны, – совсем другую. Еще две теории множеств получатся, если предположить, что одна теория верна, а другая нет.
Да, неевклидов кризис разразился вновь, только теперь все было еще хуже. Фундаментальная роль теории множеств как потенциального фундамента для всей математики лишь усугубляла проблемы платоников. Если и в самом деле можно сформулировать разные теории множеств, просто выбрав другую коллекцию аксиом, разве это не свидетельствует, что математика не более чем человеческое изобретение? Складывалось впечатление, что формалисты победили…
Истина в неполноте
В то время как Фреге был весьма озабочен значением аксиом, главный сторонник формализма, великий немецкий математик Давид Гильберт (рис. 52), ратовал за то, чтобы полностью избегать любого толкования математических формул. Гилберт не интересовался вопросами вроде того, можно ли вывести математику из логических понятий. Нет, для него математика и должна была состоять просто из набора бессмысленных формул – структурированных закономерностей, составленных из произвольных символов
[136]. Задачу гарантировать основы математики Гильберт переложил на новую дисциплину – он называл ее «метаматематика». Метаматематика должна была заниматься применением собственно методов математического анализа для доказательства, что весь процесс, который обеспечивала формальная система, – процесс вывода теорем из аксиом по строгим правилам умозаключений – непротиворечив. Иначе говоря, Гильберт считал, что может математически доказать, как устроена математика. Вот как он сам говорил об этом
[137].
Рис. 52
Мои исследования в области новых оснований математики ставят целью не менее чем исключить раз и навсегда общие сомнения в надежности математических выводов… Все, что до сих пор составляло математику, следует строго формализовать, чтобы собственно математика, математика в строгом смысле слова, стала набором формул… В дополнение к этой формализованной собственно математике у нас есть математика, в некоторой степени новая, метаматематика, которая необходима, чтобы обеспечивать математику, и в которой, в противоположность чисто формальным модусам умозаключений в собственно математике, применяют контекстуальные выводы, но лишь для доказательства непротиворечивости аксиом… таким образом, развитие математической науки в целом происходит по двум путям, которые постоянно чередуются: с одной стороны, мы выводим доказуемые формулы из аксиом посредством формальных выводов, с другой – мы присоединяем к ним новые аксиомы и доказываем их непротиворечивость при помощи контекстуальных выводов.
Программа Гильберта жертвовала смыслом ради того, чтобы обеспечить надежные основы. Поэтому для его последователей-формалистов математика и в самом деле была лишь игрой, однако их целью было строго доказать, что эта игра полностью логически последовательна
[138]. При всех достижениях аксиоматизации казалось, что эта формалистическая «доказательно-теоретическая» мечта сбудется буквально со дня на день.
Однако не все были убеждены, что Гильберт избрал верный путь. Людвиг Витгенштейн (1889–1951), которого многие называют величайшим философом ХХ века, считал, что Гильберт напрасно тратит время на метаматематику
[139]. «Нельзя устанавливать правило для применения другого правила», – настаивал он. Иными словами, Витгенштейн не считал, что понимание одной «игры» может зависеть от создания другой: «Если у меня возникла неясность относительно природы математики, мне не поможет никакое доказательство» (Waismann 1979).
Рис. 53
