Рис. 55
Свою работу над классификацией Тэт начал отнюдь не с поиска легких путей
[147]. Поскольку Тэт не располагал никакими строгими математическими принципами и руководствоваться было нечем, он составлял списки кривых с одним пересечением, двумя пересечениями, тремя и так далее. В сотрудничестве с достопочтенным Томасом Пенингтоном Киркманом (1806–1895), также математиком-любителем, он начал разбирать кривые, чтобы исключить повторы эквивалентных узлов. Задача была отнюдь не тривиальная. Надо понимать, что у каждого пересечения есть два варианта того, какой из участков шнура лежит сверху. Это означает, что если кривая содержит, скажем, семь пересечений, нужно рассмотреть 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128 узлов. То есть человеческой жизни заведомо не хватит, чтобы подобным интуитивно очевидным образом расклассифицировать узлы более чем с десятью пересечениями. Тем не менее труды Тейлора не остались незамеченными. Великий Джеймс Клерк Максвелл, сформулировавший классическую теорию электричества и магнетизма, отнесся к теории атома Томсона с большим почтением и сказал, что она «удовлетворяет большему числу требований, чем все остальные модели атома, представленные по сей день». Он прекрасно знал, какой вклад сделал в это начинание Тэт, и даже сочинил по этому поводу эпиграмму (Knott 1911).
Clear your coil of kinkings
Into perfect plaiting,
Locking loops and linkings
Interpenetrating.
(Расправь свою перепутаницу в идеальное плетение, зафиксировав взаимопроникающие петли и связи.)
К 1877 году Тэт расклассифицировал альтернирующие узлы вплоть до семи пересечений. Альтернирующие узлы – это такие, где пересечения идут по очереди то сверху, то снизу, как нить в полотне. Тэт сделал и более прагматичное открытие – он сформулировал основные принципы, которые впоследствии получили название гипотез Тэта. Кстати, эти гипотезы оказались столь фундаментальными, что до конца 80-х годов XX века противостояли любым попыткам строго их доказать. В 1885 году Тэт опубликовал таблицы узлов вплоть до десяти пересечений и решил на этом остановиться. Независимо от него профессор из Университета штата Небраска Чарльз Ньютон Литтл (1858–1923) также опубликовал в 1899 году таблицы неальтернирующих узлов до десяти пересечений включительно (Little 1899).
Лорд Кельвин всегда относился к Тэту с теплотой и благодарностью. На церемонии в Питерхаус-колледже в Кембридже, где выставляли портрет Тэта, лорд Кельвин сказал так.
Помнится, Тэт как-то заметил, что наука – единственное, ради чего стоит жить. Сказано было искренне, но сам Тэт доказал, что это не так. Он был великий чтец. Он мог наизусть читать Шекспира, Диккенса, Теккерея. Память у него была чудесная. Все, что он хотя бы раз прочитал с симпатией, он запоминал навсегда.
Увы, к тому времени, как Тэт и Литтл завершили свой подвижнический труд над таблицами узлов, гипотетическая модель атома, предложенная Томсоном, уже оказалась окончательно списана со счетов. Однако интерес к узлам не угасал – с той лишь разницей, как выразился математик Майкл Атья, что «изучение узлов стало эзотерической областью чистой математики».
Область математики, где качества вроде размера, гладкости и – в некотором смысле – даже формы не играют никакой роли, называется топологией. Топология, геометрия резинового листа, изучает те качества, которые остаются неизменными при любом растяжении и деформировании пространства (нельзя только протыкать дыры и отрывать куски)
[148]. Узлы по своей природе принадлежат именно к топологии. Кстати, математики различают узлы – отдельные петли с узлами – линки – наборы петель с узлами, перепутанные между собой, – и косы – наборы вертикальных струн, привязанных к горизонтальной планке сверху и снизу.
Если сложность классификации узлов не произвела на вас должного впечатления, задумайтесь вот о каком весьма красноречивом факте. Таблица Чарльза Литтла, опубликованная после шести лет работы в 1899 году, содержала сорок три неальтернирующих узла с десятью пересечениями. Эту таблицу семьдесят пять лет изучали самые разные математики – и все считали, что она совершенно верна. А потом, в 1974 году, юрист и математик из Нью-Йорка Кеннет Перко экспериментировал с веревками на полу собственной гостиной (Perko 1974). И, к своему изумлению, обнаружил, что два узла из таблицы Литтла – на самом деле один и тот же. Теперь мы считаем, что разных неальтернирующих узлов с десятью пересечениями всего сорок два.
В ХХ веке топология достигла блестящих успехов, однако в области теории узлов прогресс шел относительно медленно. В числе главных целей математиков, изучавших узлы, было выявить качества, которые на самом деле отличают узлы друг от друга. Такие качества называются инвариантами узлов – и это величины, которые для любых двух разных проекций одного и того же узла имеют в точности одно и то же значение. Иначе говоря, идеальный инвариант – это буквально «отпечаток пальца» узла, характерное качество узла, которое не меняется ни при каких деформациях. Пожалуй, самый простой инвариант, который сразу приходит в голову, – это минимальное число пересечений при изображении узла. Например, сколько ни пытайся развязать узел-трилистник (рис. 54, b), число пересечений никогда не станет меньше трех. К сожалению, минимальное число пересечений не может служить самым удобным инвариантом по целому ряду причин. Во-первых, как показывает рис. 55, не всегда просто определить, изображен ли узел с минимальным числом пересечений. Во-вторых, и это главное, у двух разных узлов может оказаться одинаковое минимальное число пересечений. Например, на рис. 54 есть целых три разных узла с шестью пересечениями и не менее семи разных узлов с семью пересечениями. Таким образом, минимальное количество пересечений не отличает большинство узлов друг от друга. Наконец, минимальное количество пересечений именно в силу своей чрезвычайной простоты не дает представления о свойствах узлов в целом.
Прорыв в теории узлов произошел в 1928 году, когда американский математик Джеймс Уэдделл Александер (1888–1971) открыл важный инвариант, который стали называть многочленом Александера (Alexander 1928). Вообще говоря, многочлен Александера – это алгебраическое выражение, в котором для маркировки узла используется взаимное расположение пересечений. Если у двух узлов разные многочлены Александера, то узлы тоже совершенно точно разные, и это прекрасно. Плохо другое – два узла с одинаковыми многочленами Александера все равно могут оказаться разными узлами. То есть многочлен Александера – инструмент необычайно полезный, но для различения узлов все же несовершенный.
