Астрофизик Макс Тегмарк утверждает, что каждой возможной математической структуре должна соответствовать (или, по его словам, соответствует) своя Вселенная
[163]. Если это так, то перед нами доведенная до предела версия позиции «Вселенная есть математика»: с математикой идентифицируется даже не один мир, а целый их ансамбль. К сожалению, эти умозаключения не просто радикальны и на данный момент не подлежат экспериментальной проверке, но и противоречат, по крайней мере, в упрощенном виде, так называемому принципу заурядности.
[164]. Как я писал в главе 5, если выбрать на улице случайного прохожего, то с вероятностью 95 % его рост попадет в пределы двух стандартных отклонений от среднего роста. Подобную же аргументацию следует применять и к свойствам вселенных. Однако количество возможных математических структур с увеличением сложности стремительно возрастает. Это значит, что самая заурядная структура, близкая к средней, должна быть необычайно сложной. А это не вяжется с относительной простотой нашей математики и наших теорий Вселенной, а значит, не соответствует естественным представлениям о том, что наша Вселенная должна быть типичной.
Загадка Вигнера
Вопрос «что есть математика – изобретение или открытие?» сформулирован некорректно, поскольку из такой формулировки следует, что нужно выбрать какой-то один ответ и что эти два варианта взаимоисключающи. Я предлагаю другую версию: математика отчасти открыта, а отчасти изобретена. Люди постоянно изобретают математические понятия и открывают отношения между этими понятиями. Конечно, некоторые эмпирические открытия предшествовали формулировке понятий, однако сами понятия, несомненно, стали стимулом для дальнейших открытий новых теорем. Кроме того, я хочу заметить, что некоторые философы математики, например американец Хилари Патнэм, придерживаются умеренной позиции, так называемого реализма: они верят в объективность математического дискурса (утверждения бывают истинные и ложные, а то, что делает их истинными или ложными, лежит вне сферы влияния человека), однако не убеждены, в отличие от платоников, в существовании «математических объектов» (Putnam 1975). Но ведут ли подобные представления к удовлетворительному ответу на загадку Вигнера – загадку о «непостижимой эффективности» математики?
Позвольте кратко очертить некоторые варианты ответов, предлагаемые современными мыслителями
[165].
Вот что пишет Дэвид Гросс, лауреат Нобелевской премии по физике
[166].
Существует точка зрения, насколько мне известно, довольно распространенная среди математиков, занимающихся новыми разработками, согласно которой математические структуры, получаемые этими учеными, представляют собой не искусственные творения человеческого разума, а представляются им некоторым образом естественными, как будто они столь же реальны, как и структуры, созданные физиками для описания так называемого реального мира. Иначе говоря, математики не изобретают новую математику, а открывают ее. Если это так, то, пожалуй, некоторые тайны, которые мы исследовали [ «непостижимая эффективность»], уже не так таинственны. Если математика сводится к структурам, представляющим собой реальную часть мира природы, столь же реальную, что и понятия теоретической физики, не приходится удивляться, что она служит эффективным инструментом анализа реального мира.
То есть Гросс опирается здесь на вариант точки зрения «математика есть открытие», который находится где-то между платоновским миром и миром «Вселенная есть математика», но ближе к платоническому мировоззрению. Однако, как мы видели, философски обосновать утверждение «математика есть открытие» трудно. Более того, платонизм не может по-настоящему ответить на вопрос о феноменальной точности, о котором я говорил в главе 8, – и Гросс это признает.
Сэр Майкл Атья, чьи представления о природе математики я в основном разделяю, пишет об этом так (Atiyah 1995; см. также Atiyah 1993).
Если рассматривать мозг в контексте эволюции, то загадочные успехи математики в физических науках можно объяснить – по крайней мере, отчасти. Мозг развивался так, чтобы легче было иметь дело с физическим миром, поэтому, пожалуй, не надо удивляться, что он разработал математику – язык, прекрасно подходящий для этой цели.
Такая аргументация очень похожа на то, что предлагают когнитивисты. Однако Атья при этом признает, что это объяснение едва ли позволяет ответить на самый наболевший вопрос – как математика объясняет относительно скрытые аспекты физического мира. В частности, оно оставляет в стороне вопрос о «пассивной» эффективности математики (о том, что математические понятия находят практическое применение уже после их изобретения, иногда в далеком будущем). Атья отмечает: «Скептик вправе возразить, что борьба за выживание требует от нас только справляться с физическими явлениями на человеческих масштабах, а математическая теория, однако, успешно описывает явления на любых масштабах, от атома до галактики». Единственное, что приходит в голову по этому поводу, – это: «Возможно, объяснение кроется в абстрактно-иерархической природе математики, которая позволяет относительно легко переходить вверх-вниз по шкале масштабов».
Ричард Хэмминг (1915–1998), американский математик и специалист по теории информации, в 1980 году сделал очень подробный и интересный обзор загадки Вигнера (Hamming 1980). Во-первых, по вопросу о природе математики он пришел к выводу, что «математика создана человеком и поэтому приспособлена для того, чтобы человек постоянно и более или менее бесконечно ее изменял». Далее, он предложил четыре возможных объяснения непостижимой эффективности: это (1) эффект отбора, (2) эволюция математических инструментов, (3) ограниченная способность математики к объяснению и (4) эволюция человека.
Вспомним, что эффект отбора – это искажение результатов эксперимента либо из-за использованного аппарата, либо из-за способа сбора данных. Например, если при испытании эффективности диеты исследователь отбрасывает всех, кто прекратил диету досрочно, это исказит результат, поскольку те, кто отказался продолжать испытание, скорее всего, и есть те, на кого эта диета не подействовала. Иначе говоря, Хэмминг предполагает, что по крайней мере в некоторых случаях «изначальное явление возникает из-за применяемого математического инструментария, а не из реального мира… многое из того, что мы видим, зависит от того, какие на нас очки». В качестве примера он с полным правом приводит возможность показать, что любая сила, симметрично исходящая из точки (и сохраняющая энергию) в трехмерном пространстве ведет себя согласно закону обратных квадратов, а следовательно, не стоит удивляться применимости закона всемирного тяготения Ньютона. Точка зрения Хэмминга прекрасно обоснована, однако фантастическую точность некоторых теорий едва ли можно объяснить эффектом отбора.
