Теперь оставим бесконечные выражения и обратимся к золотому прямоугольнику с рис. 26. Длины сторон этого прямоугольника соотносятся друг с другом в соответствии с золотым сечением. Теперь предположим, что мы отрезаем от этого прямоугольника квадрат, как показано на рисунке. У нас останется прямоугольник поменьше, и это тоже будет золотой прямоугольник. Габариты этого «производного» прямоугольника меньше, чем у «исходного», с коэффициентом ровно φ. Теперь отрежем квадрат от «производного» золотого прямоугольника – и у нас получится еще один золотой прямоугольник с габаритами, которые опять же меньше с коэффициентом φ. Этот процесс можно продолжать до бесконечности, создавая золотые прямоугольники все меньше и меньше (каждый раз их габариты «сдуваются» на множитель φ). Если бы мы изучали все уменьшающиеся по размеру золотые прямоугольники в лупу, причем брали бы линзу все сильнее и сильнее, они были бы все одинаковые. Золотой прямоугольник – единственный прямоугольник, обладающий таким свойством, что если отрезать от него квадрат, получится подобный прямоугольник. Проведите диагонали в любой паре из «исходного» и «производного» треугольника из этой череды, как на рис. 26, и они все пересекутся в одной точке. К этой недостижимой точке и сходятся уменьшающиеся прямоугольники. Благодаря «божественным» качествам, приписываемым золотому сечению, математик Клиффорд А. Пиковер предложил назвать эту точку «Оком Господним».
Если у вас не идет кругом голова при одной мысли, что во всех этих математических обстоятельствах, таких разных, мы приходим к одному и тому же числу φ, возьмите простенький карманный калькулятор, и я покажу вам потрясающий фокус. Выберите два любых числа (число разрядов не имеет значения) и запишите их подряд. Теперь при помощи калькулятора (или в уме) составьте (и запишите) третье число, сумму первых двух. Теперь составьте четвертое число – прибавив к получившейся сумме третье, пятое – прибавив четвертое к третьему, шестое – сложив пятое с четвертым и т. д., пока у вас не получится последовательность из двадцати чисел. Скажем, если первыми числами у вас были 2 и 5, у вас должна получиться последовательность 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131… Теперь при помощи калькулятора поделите двадцатое число на девятнадцатое. Узнаете результат? Разумеется, это φ. К этому фокусу и его «разоблачению» я вернусь в главе 5.
Мрачное Средневековье
Когда Евклид в «Началах» давал определение золотого сечения, его интересовала в первую очередь геометрическая интерпретация этого понятия и его применение в построении правильного пятиугольника и некоторых платоновых тел. Греческие математики следующих столетий вывели еще несколько геометрических результатов, связанных с золотым сечением. Например, в дополнительной книге к «Началам» Евклида (ее иногда так и называют книгой XIV «Начал») содержится важная теорема о додекаэдре и икосаэдре, вписанных в одну и ту же сферу. Текст книги XIV приписывают Гипсиклу Александрийскому, который, вероятно, жил во II веке н. э., однако считается, что в ней содержатся также теоремы Аполлония Пергского (ок. 262–190 до н. э.), одного из трех светил Золотого Века греческой математики (приблизительно 300–200 годы до н. э.) наряду с Евклидом и Архимедом. После этого к изучению золотого сечения возвращались лишь от случая к случаю, и эти исследования были связаны в основном с именами Герона (I в. н. э.), Птолемея (II в. н. э.) и Паппа (IV в. н. э.). Герон в своей «Метрике» предлагает формулы для приближенного вычисления площади поверхности правильного пятиугольника и правильного десятиугольника и объема икосаэдра и додекаэдра, однако умалчивает о том, как эти формулы были получены.
Птолемей (Клавдий Птолемей) жил примерно в 100–179 г. н. э., однако о его жизни практически ничего неизвестно, кроме того, что работал он в основном в Александрии. На основании своих собственных астрономических наблюдений, а также знаний, полученных его предшественниками, Птолемей разработал знаменитую геоцентрическую модель Вселенной, согласно которой солнце и небесные тела вращаются вокруг Земли. Конечно, в рассуждениях Птолемея была фундаментальная ошибка, однако при помощи этой модели удалось объяснить наблюдаемое движение планет (хотя бы в первом приближении), и идеи Птолемея определяли ход мыслей астрономов в течение тринадцати веков.
Собственные астрономические изыскания Птолемей согласовал с выводами других греческих астрономов, в особенности Гиппарха Никейского, и свел весь корпус знаний воедино в своем энциклопедическом тринадцатитомном труде «Великое математическое построение по астрономии», или попросту «Великое» (по-гречески «мегисте»), которое в Европе стало известно под арабизированным названием «Альмагест» – «мегисте» с приставкой «аль-» – определенным артиклем. Кроме того, Птолемею принадлежат важные заслуги и в географической науке, он написал авторитетный труд «Руководство по географии».
В «Альмагесте» и «Руководстве по географии» Птолемей приводит один из самых ранних эквивалентов тригонометрической таблицы для множества углов. В частности, он вычислил длины хорд, соединяющих две точки на окружности под разными углами, в том числе под углами 36, 72 и 108 градусов: эти величины, если вы помните, появляются и в правильном пятиугольнике, а следовательно, тесно связаны с золотым сечением.
Последним великим греческим геометром, который занимался теоремами, связанными с золотым сечением, был Папп Александрийский. В своем «Математическом собрании» (ок. 340 г. н. э.) Папп предлагает новый метод построения додекаэдра и икосаэдра, а также сравнивает объемы платоновых тел, и во всех этих выкладках присутствует золотое сечение. Комментарии Паппа к евклидовой теории иррациональных чисел сохранились в арабских переводах трудов Паппа и прекрасно отражают историческое развитие представлений об иррациональных числах. Однако эти героические усилия остановить общий упадок и разложение математики и, в частности, геометрии оказались безуспешны, и после смерти Паппа интерес к золотому сечению угас на долгие годы, что, впрочем, соответствовало общей тенденции: Запад утратил интерес к науке. Великая Александрийская библиотека была уничтожена в несколько этапов, сначала римлянами, а затем христианами и магометанами. Даже Платоновской Академии пришел конец – это случилось в 529 году, когда византийский император Юстиниан распорядился закрыть все греческие учебные заведения. Последовало мрачное Средневековье, и французский историк и епископ Григорий Турский (538–594) сокрушался, что «ученость среди нас погибла». В сущности, научно-исследовательская жизнь в Европе заглохла, и интеллектуальное первенство осталось за Индией и арабским миром. Знаменательным событием в этот период стало введение так называемых индо-арабских цифр и десятичной позиционной системы счисления. Виднейшим индийским математиком VI века был Ариабхата (476–ок. 550). Самая известная его книга называется «Ариабхатия», и там мы находим следующую фразу: «От разряда к разряду каждое в десять раз больше предыдущего», что свидетельствует о введении разрядов чисел, то есть записи, где важно положение цифры. Сохранилась индийская надпись, относящаяся к 595 году, где содержится запись даты индийскими цифрами в десятичной позиционной системе, а значит, к этому времени подобная запись уже была в ходу. Первым признаком того, что индийские цифры проникают на Запад (хотя тогда они еще не прижились), можно считать их упоминание в трудах Севера Себохта, жившего в Кенешре на реке Евфрат. В 662 году он писал: «Не стану обсуждать индийскую науку… и их ценные методы вычисления, которые превосходят всяческие описания. Скажу лишь, что они производят вычисления посредством девяти знаков».
