По мере того, как набирал силу ислам, важным центром математических исследований становился магометанский мир. Если бы не интеллектуальный подъем в мусульманских странах в VIII веке, до нас не дошли бы труды большинства античных математиков. В частности, халиф аль-Мамун (786–853) учредил в Багдаде Бейт аль-хикма («Дом мудрости»), похожий на знаменитый александрийский университет – Музейон. В сущности, Аббасидский халифад по крупицам собирал остатки александрийской учености. Легенда гласит, что калифу во сне явился Аристотель, после чего он решил перевести все греческие ученые труды на арабский.
Важнейшие изыскания магометанских ученых в основном касались алгебры и если и затрагивали золотое сечение, то лишь весьма поверхностно. Тем не менее, следует упомянуть по меньшей мере троих математиков: это аль-Хорезми и Абу Камил Шуджа, жившие в IX веке, и Абу-л-Вафа, живший в Х веке.
Мухаммад ибн-Муса аль-Хорезми работал в Багдаде и примерно в 825 году написал здесь книгу, которая считается самым авторитетным трудом по алгебре той эпохи – «Книга восполнения и противопоставления», «Kitab al-jabr wa al-muqabalah». От ее названия – «аль-джебр» – пошло привычное для нас название науки «алгебра», поскольку это был первый учебник по этой дисциплине в Европе. Более того, слово «алгоритм», которым называется любой особый метод решения математической задачи при помощи набора определенных шагов-процедур, тоже происходит от искаженного «аль-Хорезми». «Книга восполнения» на несколько столетий стала синонимом теории уравнений. Уравнение, которое требовалось для решения одной задачи, представленной аль-Хорезми, очень похоже на уравнение-определение золотого сечения. Аль-Хорезми говорит: «Я поделил десять на две части; первую я умножил на десять, вторую – на саму себя, и результаты оказались одинаковыми». Неизвестную величину аль-Хорезми обозначил как «шай» – «вещь». Следовательно, первая часть условия вышеприведенной задачи сводится к фразе «умножаешь “вещь” на десять, получается десять “вещей”». Таким образом, первое уравнение выглядит так: 10 × x = (10 – x)2, то есть формула для вычисления меньшей части отрезка длиной в 10 единиц, разделенного в золотом сечении. Вопрос в том, имел ли аль-Хорезми в виду золотое сечение, когда формулировал эту задачу. Под влиянием аль-Хорезми неизвестную стали в ранних латинских работах называть «res», а в переводах на итальянский – «cosa» («вещь, дело»). Соответственно, алгебра прославилась как «l’arte della cosa» («искусство вещи», «искусство неизвестной»). Иногда ее называли также «ars magna» – «великое искусство» – в противоположность арифметике, которая считалась не таким великим искусством.
Другой арабский математик, внесший свой вклад в историю золотого сечения, – это Абу Камил Шуджа по прозвищу аль-Хасиб аль-Мисри, что значит «вычислитель из Египта». Родился он около 850 года, вероятно, в Египте, а умер около 930 года. Он написал много книг, некоторые из которых, в том числе «Книга об алгебре», «Книга о редкостях искусства арифметики» и «Книга о геометрии», дошли до нас. Возможно, Абу Камил был первым математиком, который не просто искал решения задачи, а интересовался поиском всех возможных решений. В своей книге «О редкостях искусства арифметики» он даже описывает задачу, к которой нашел 2678 решений! Однако с точки зрения истории золотого сечения главное – что книги Абу Камила стали основой для некоторых книг итальянского математика Леонардо Пизанского, известного под прозвищем Фибоначчи, с которым мы скоро познакомимся. Трактат Абу Камила «О пятиугольнике и десятиугольнике» содержит двадцать задач с решениями, где ученый вычисляет площади фигур, длины их сторон и радиусы описанных вокруг них окружностей. В некоторых этих вычислениях, но не везде, он применяет и золотое сечение. Несколько алгебраических задач из «Алгебры» Абу Камила, вероятно, тоже вдохновлены понятием золотого сечения.
Последний исламский математик, которого мне хочется здесь упомянуть, – Мухаммад Абу-л-Вафа (940–998). Абу-л-Вафа родился в Бузгане на территории современного Ирана и жил в правление династии Буидов в западном Иране и Ираке. Эта династия достигла расцвета в царствование Адуда аль-Давла, который был горячим поклонником и покровителем математики, естественных наук и искусств. Абу-л-Вафа был среди математиков, которых в 959 году пригласили в Багдад ко двору Адуда аль-Давла. В его первом солидном труде – книге «О том, что нужно знать писцам, дельцам и другим в науке арифметики», по словам самого ученого, «содержатся все арифметические знания, которые необходимы ученику, подчиненному или начальнику». Интересно, что хотя сам Абу-л-Вафа был специалистом в применении индийских цифр, весь текст его книги написан вообще без цифр, одними словами, а вычисления проводятся только в уме. К Х веку индийские цифры еще не нашли применения в деловых кругах. То, что Абу-л-Вафа интересуется золотым сечением, видно из другой его книги – «О том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений». В этой книге Абу-л-Вафа приводит изобретательные методы построения правильного пятиугольника и десятиугольника, вписывания правильных многоугольников в окружности и в другие многоугольники. Уникальную черту его работы составляет серия задач, которые он решает при помощи линейки (прямой, без делений) и циркуля, в котором угол между ножками зафиксирован (так называемый «ржавый циркуль»). Возможно, на этот жанр ученого вдохновило «Собрание» Паппа, однако не исключено, что такие решения просто отражают подход Абу-л-Вафы к практическим задачам: решения при помощи циркуля с фиксированным углом между ножками более точны.
Книги этих и других арабских математиков несколько углубили знания о золотом сечении, и их открытия сыграли важную, хотя и не очень большую роль. Как часто бывает в науке, подобные подготовительные периоды медленного прогресса необходимы для следующего прорыва. Великий драматург Джордж Бернард Шоу как-то выразил свое представление о прогрессе следующими словами: «Разумный человек приспосабливается к миру; неразумный – упорно пытается приспособить мир к себе. Поэтому прогресс зависит от неразумных людей». В случае золотого сечения квантовый скачок дожидался появления одного из самых выдающихся математиков Средневековой Европы – Леонардо Пизанского.
Сын доброй матери-природы
Девять индийских цифр – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 – и знак 0… позволяют записать любое число, как будет показано ниже.
Леонардо Фибоначчи (ок. 1170 – ок. 1250).
Этими словами Леонардо Пизанский (по-латыни – Leonardus Pisanus), известный также как Леонардо Фибоначчи, начал свою первую и самую известную книгу – «Liber abaci» («Книгу абака»), увидевшую свет в 1202 году. Ко времени появления этой книги с индо-арабскими цифрами, которыми мы пользуемся сегодня, были знакомы лишь несколько привилегированных европейских интеллектуалов, взявших на себя труд изучить переводы книг аль-Хорезми и Абу Камила. Некоторое время Фибоначчи помогал отцу – отец Леонардо был чиновником по таможенным и торговым делам в городе Беджаи (на территории современного Алжира), а затем путешествовал и по другим средиземноморским странам, в том числе побывал в Греции, Египте и Сирии, так что у него была возможность изучить и сравнить разные системы записи чисел и методы проведения арифметических операций. В конце концов Фибоначчи пришел к выводу, что индо-арабские цифры, при помощи которых числа записывались в позиционной системе, гораздо лучше всех прочих, и первые семь глав своего труда посвятил объяснениям, что такое индо-арабские цифры и как применять их на практике.
