Вычислим сумму первых десяти чисел Фибоначчи: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143. Эта сумма нацело делится на 11 (143/11 = 13). То же самое верно для суммы любых десяти последовательных чисел Фибоначчи. Например, 55 + 89 + 144 + 233 + 377 + 610 + 987 + 1597 + 2584 + 4181 = 10 857, а 10 857 нацело делится на 11: 10 857/11 = 987. Внимательно поглядев на эти примеры, можно заметить еще кое-что. Сумма любых десяти последовательных чисел Фибоначчи всегда равна седьмому из этих чисел, умноженному на 11. Можете воспользоваться этим свойством, чтобы поражать зрителей скоростью, с которой вы сложите любые десять последовательных чисел Фибоначчи.
Месть шестидесятеричной системы?!
Как вы, должно быть, помните, древние вавилоняне по не вполне понятным причинам взяли за основание своей системы счисления число 60 (шестидесятеричная система). Число 60 играет свою роль и в последовательности Фибоначчи, хотя с вавилонской системой счисления это и не связано.
Числа Фибоначчи очень быстро возрастают, поскольку каждое следующее число получается сложением двух предыдущих. По сути дела, нам крупно повезло, что кролики не бессмертны, иначе они бы нас одолели. Пятое число Фибоначчи – всего-навсего 5, а 125-е – уже 59 425 114 757 512 643 212 875 125. Интересно, что число единиц повторяется периодически – через каждые 60 чисел. Например, второе число – 1, 62-е – 4 052 739 537 881 (тоже кончается на 1), 122-е – 14 028 366 653 498 915 298 923 761 – тоже кончается на 1, как и 182 и т. д. Подобным же образом 14-е число равно 377, 74-е – на 60 чисел дальше в последовательности – равно 1 304 969 544 928 657 и тоже кончается на 7 и т. д. Это свойство обнаружил в 1774 году французский математик, итальянец по рождению, Жозеф Луи Лагранж (1736–1813), из-под чьего пера вышло много трудов по теории чисел и механике (еще он изучал устойчивость солнечной системы). Последние две цифры, то есть 01, 01, 02, 03, 05, 08, 13, 21…, повторяются в последовательности с периодичностью 300, а последние три цифры – с периодичностью 1500 чисел. В 1963 году Стивен П. Геллер при помощи компьютера IBM 1620 доказал, что последние четыре цифры повторяются с периодичностью раз в 15 000, последние пять – с периодичностью раз в 150 000 и, наконец, повторение последних шести цифр появляется раз в 1 500 000; компьютеру потребовалось на поиск этой закономерности три часа работы. Геллер не задумался над тем фактом, что можно доказать общую теорему о периодичности последних цифр, и отметил: «Похоже, догадаться, каков будет следующий период, невозможно, однако, вероятно, можно написать новую программу для машины, которая допускает инициализацию в любом месте последовательности, и это сократит время работы компьютера настолько, чтобы получить новые данные». Однако вскоре после этого израильский математик Дов Ярден показал, что можно строго доказать, что для любого количества последних цифр, начиная с трех и больше, периодичность равна всего-навсего пятнадцать на десять в степени на единицу меньше, чем количество цифр (то есть для семи цифр это 15 × 106 – то есть 15 миллионов).
Почему именно 1/89?
Свойства нашей Вселенной, от размера атомов до размера галактик, определяются величинами нескольких так называемых фундаментальных постоянных. В число этих постоянных входят четыре величины, определяющие величину четырех основных сил – силы тяготения, электромагнитной силы и двух сил, действующих на масштабах атомного ядра. Например, знакомая нам электромагнитная сила, возникающая между двумя электронами, в физике выражается через фундаментальную постоянную, называемую постоянной тонкой структуры. Величина этой постоянной почти точно равна 1/137, что весьма озадачивало несколько поколений физиков. Знаменитый английский физик Поль Дирак (1902–1984), один из основателей квантовой механики, шутил по этому поводу, что если на небесах ему будет позволено задать Господу всего один вопрос, это будет вопрос «Почему именно 1/137?».
В последовательность Фибоначчи тоже входит совершенно удивительное число – это ее одиннадцатый член 89. Если записать значение 1/89 в виде десятичной дроби, то получится 0,01123595… А теперь представим себе, что мы записываем числа Фибоначчи как десятичные дроби следующим образом:
0,01
0,001
0,0002
0,00003
0,000005
0,0000008
0,00000013
0,000000021
…
Иначе говоря, разряд единиц первого числа Фибоначчи приходится на второй знак после запятой, разряд единиц второго числа приходится на третий знак после запятой и так далее, то есть разряд единиц n-ного числа Фибоначчи приходится на (n–1) – й знак после запятой. А теперь давайте сложим эти числа. И получится у нас 0,01123595…, то есть 1/89.
Фокус с молниеносным сложением
Некоторые люди умеют очень быстро складывать в уме. Числа Фибоначчи помогают производить подобные молниеносные математические операции без особых усилий. Сумма всех чисел Фибоначчи от первого до n-ного равна попросту числу номер (n + 2), из которого вычли единицу. Например, сумма первых десяти членов последовательности 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143, то есть двенадцатый член (144) минус 1. Сумма первых 78 членов последовательности равна восьмидесятому члену минус 1 и т. д. Следовательно, можете заставить приятеля написать длинную колонку цифр, начиная с 1, 1, 2 и далее, следуя формуле последовательности Фибоначчи, то есть каждое следующее число должно быть суммой двух предшествующих. Затем попросите собеседника пометить галочкой любое число в колонке – после чего вы мгновенно скажете, чему равна сумма всех чисел до галочки: это будет число через одно от отмеченного минус 1.
Пифагоровы Фибоначчи
Как ни странно, числа Фибоначчи можно связать даже с пифагоровыми тройками. Как вы, наверное, помните, пифагоровы тройки – это тройки чисел, которые могут служить длинами сторон прямоугольного треугольника (в частности, это числа 3, 4, 5). Возьмите любые четыре последовательных числа Фибонанччи, ну, скажем, 1, 2, 3, 5. Произведение внешних – то есть первого и четвертого – равно 5, удвоенное произведение внутренних – то есть второго и третьего – равно 12, сумма квадратов внутренних чисел 22 + 32 = 13 – и это и будут три стороны пифагорейского треугольника (52 + 122 = 132). Но это еще не все! Обратите внимание, что третье число – 13 – само по себе число Фибоначчи! Это свойство обнаружил математик Чарльз Райн.
Учитывая, сколько чудес таят в себе числа Фибоначчи (а вскоре мы познакомимся со множеством других их секретов), не стоит удивляться, что математики давно ищут эффективный метод вычисления произвольного члена последовательности Fn для любого n. В принципе это не так уж сложно: если нам нужно сотое число, надо сложить девяносто восьмое и девяносто девятое, однако это все равно означает, что сначала надо вычислить все члены последовательности до девяносто девятого, а это несколько утомительно. Как писал покойный юморист Джордж Бернс в своей книге «Как прожить сто лет и больше» (George Burns. How to Live to Be 100 or More): «Как прожить сто лет и больше? Кое над чем придется потрудиться. Главное – обязательно дотянуть до девяносто девяти».
