Из двух правильных геометрических тел – додекаэдра и икосаэдра… эти два правильных многогранника и, по сути дела, структуру самого правильного пятиугольника невозможно выстроить без божественной пропорции, как называют ее нынешние геометры. Она устроена так, что два меньших члена прогрессии вместе составляют третий, а два последних, если их сложить, составляют непосредственно следующий за ними, и так далее до бесконечности, если не нарушать и продолжать эту пропорцию… Чем дальше мы отходим от номера первого, тем совершеннее становится пример. Пусть самыми маленькими числами будут 1 и 1… сложи их, и сумма будет 2, прибавь это число к последнему из 1, получишь 3, прибавь к нему 2 и получишь 5, прибавь три – получишь 8; 5 к 8–13; 8 к 13–21. Как 5 к 8, так и 8 к 13 – приблизительно, – и как 8 к 13, так и 13 к 21 – приблизительно.
Иначе говоря, Кеплер обнаружил, что отношение последовательных чисел Фибоначчи сходится к золотому сечению. По сути дела, он открыл и еще одно интересное свойство чисел Фибоначчи – что квадрат любого члена последовательности отличается не более чем на 1 от произведения двух соседних членов последовательности. Например, поскольку последовательность Фибоначчи – 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …, то если мы рассмотрим 32 = 9, то 9 лишь на 1 отличается от произведений двух членов последовательности, соседних с 3: 2 × 5 = 10. Подобным же образом 132 = 169 отличается на 1 от 8 × 21 = 168 и т. д. Это качество чисел Фибоначчи подводит нас к удивительному парадоксу, который первым обнаружил великий изобретатель математических головоломок Сэм Лойд (1841–1911).
Рассмотрим квадрат со стороной 8 (с площадью 82 = 64) на рис. 63. Теперь разрежем его на четыре части по намеченным линиям. Из этих четырех кусочков можно составить прямоугольник (рис. 64) со сторонами 13 и 5 – то есть с площадью 65! Откуда взялся дополнительный квадратик?! Ответ на этот парадокс состоит в том, что на самом деле детали головоломки не сходятся идеально вдоль длинной диагонали прямоугольника, получается длинный узкий параллелограмм, которого не видно из-за жирной линии, обозначающей длинную диагональ на рис. 64, и его площади как раз хватает на площадь одного квадратика-единицы. Само собой, 8 – число Фибоначчи, и его квадрат 82 = 64 отличается на 1 от произведения двух соседних чисел Фибоначчи (3 × 5 = 65): свойство, которое открыл Кеплер.
Рис. 63
Рис. 64
Наверное, вы уже заметили, что Кеплер именует золотое сечение «божественной пропорцией, как называют ее нынешние геометры». Все научные изыскания Кеплера окрашены сочетанием рациональных рассуждений с христианскими убеждениями. Кеплер был естествоиспытателем-христианином и считал своим долгом понять не только устройство Вселенной, но и намерения ее Творца. Свою гипотезу о Солнечной системе он строил под влиянием сильной тяги к числу 5, перенятой у пифагорейцев, и о золотом сечении писал следующим образом:
Особенность этого соотношения заключается в том, что похожую пропорцию можно построить из целого и большей части, и то, что раньше было большей частью, теперь становится меньшей, а то, что раньше было целым, теперь становится большей частью, а сумма их обладает соотношением целого. Так происходит до бесконечности, а божественная пропорция всегда сохраняется. Я полагаю, что эта геометрическая пропорция и послужила идеей Творцу, когда Он творил подобное из подобного по образу и подобию Своему – и это тоже происходит до бесконечности. Число пять я вижу почти во всех цветках, которые прокладывают путь плодам, то есть творению, и которые существуют не ради себя самих, а ради того, чтобы за ними последовали плоды. Сюда можно включить почти все цветы плодовых деревьев; следует, вероятно, исключить лимоны и апельсины, хотя я не видел их цветов и сужу лишь по плодам или ягодам, которые поделены не на пять, а на семь, одиннадцать или девять долек. Однако воплощение числа пять в геометрии, то есть правильный пятиугольник, строится посредством божественной пропорции, которую мне бы хотелось [предположительно считать] прототипом Творения. Более того, [она] наблюдается и между движением Солнца (или, как я полагаю, Земли) и Венеры, которая стоит на вершине порождающей способности соотношения 8 и 13, которое, как мы еще услышим, подходит очень близко к божественной пропорции. Наконец, согласно Копернику, сфера Земли расположена посередине между сферами Марса и Венеры. Пропорцию между ними можно получить из додекаэдра и икосаэдра, оба из которых в геометрии производятся из божественной пропорции – однако акт творения происходит именно на нашей Земле.
Теперь рассмотрим, как из божественной пропорции проистекают изображения мужчины и женщины. На мой взгляд, размножение растений и продолжение рода у животных состоят в том же соотношении, что и геометрическая пропорция, пропорция, выраженная частями отрезка, или арифметическая или численно выраженная пропорция.
Проще говоря, Кеплер искренне верил, что золотое сечение послужило для Бога фундаментальным инструментом сотворения Вселенной. Из этого отрывка следует также, что Кеплер знал о проявлениях золотого сечения и чисел Фибоначчи в расположении лепестков растений.
Относительно спокойный и плодотворный с профессиональной точки зрения период жизни в Праге кончился для Кеплера в 1611 году, когда его постигла череда несчастий. Сначала умер от оспы его сын Фридрих, затем от заразной лихорадки, которую принесли австрийские оккупанты, скончалась его жена Барбара. В конце концов, император Рудольф отрекся от престола в пользу своего брата Матиаса, известного нетерпимым отношением к протестантам. Поэтому Кеплер был вынужден перебраться в Линц, на территорию современной Австрии.
Венцом трудов Кеплера, созданных в Линце, стала публикация в 1619 году его второй главной работы по космологии – «Harmonice Mundi» («Гармония мира»).
Вспомним, что для Пифагора и пифагорейцев музыка и гармония была первым доводом в пользу того, что космические явления можно описать математически. Созвучные тоны порождали лишь те струны, длины которых соответствовали простым дробям. Соотношение 2:3 звучало как квинта, 3:4 как кварта и т. д. Считалось, что похожее гармоническое расположение планет также порождает «музыку сфер». Кеплер был хорошо знаком с этой концепцией, поскольку прочитал почти всю книгу отца Галилео Галилея Винченцо «Диалоги о древней и современной музыке», хотя и не был согласен с некоторыми идеями Винченцо. Поскольку он был также убежден, что создал исчерпывающую модель Солнечной системы, то смог даже рассчитать небольшие «мотивы» для разных планет (рис. 65).
Рис. 65
