Рис. 107
Вероятное объяснение было найдено в 1991 году, когда математик Сергей Емельянович Бурков из Института теоретической физики им. Ландау в Москве обнаружил, что для квазипериодического замощения плоскости не обязательно нужны плитки двух видов. Бурков доказал, что квазипериодичности можно добиться даже при помощи одной плитки десятиугольной формы, если допустить, чтобы плитки перекрывались: такое свойство ранее не допускалось при замощениях плоскости. Пять лет спустя немецкий математик Петра Гуммельт из Университета имени Эрнста Морица Арндта в городе Грайфсвальд убедительно доказала, что мозаику Пенроуза можно получить при помощи одного «раскрашенного» десятиугольника в сочетании с конкретным правилом, допускающим перекрывание: два десятиугольника могут накладываться друг на друга, только если при этом перекрываются темные участки рисунка (рис. 108). Этот десятиугольник также имеет прямое отношение к золотому сечению: радиус круга, в который вписан правильный десятиугольник со стороной 1, равен φ.
Рис. 108
Работа Гуммельт позволила, наконец, преобразовать математику в физику. Физики Пол Стейнхардт из Принстонского университета и Хён-Цай Джун из Университета Седжун в Сеуле показали, что чисто математические законы перекрывания плиток вполне можно перевести в физическую картину, где «квазиединичные ячейки» представляют собой группы атомов, просто обладают общими атомами. Стейнхардт и Джун предположили, что квазикристаллы – это структуры, где идентичные группы атомов, то есть квазиединичные ячейки, делят некоторые атомы с соседками, а узор, который при этом образуется, обеспечивает максимальную плотность. Иначе говоря, квазипериодическая упаковка порождает систему более стабильную (больше плотность, меньше энергия), чем любая другая. В 1998 году Стейнхардт, Джун и их коллеги попытались экспериментально подтвердить свою модель. Они бомбардировали квазикристаллический сплав алюминия, никеля и кобальта рентгеновскими и электронными лучами. Полученные в результате рассеяния лучей изображения поразительно соответствовали картине перекрывающихся десятиугольников. Это видно на рис. 109, где на получившийся результат наложили узор из десятиугольных плиток. Последующие эксперименты, однако, дали не такой однозначный результат. Тем не менее, сохраняется общее впечатление, что модель Стейнхардта-Джонга объясняет устройство квазикристаллов.
Рис. 109
Рис. 110
Изображения поверхности квазикристаллов, сделанные в 1994 и 2001 году, продемонстрировали еще одно чудесное свойство, которое связывает их структуру с золотым сечением. При помощи сканирующего туннельного микроскопа ученые из Базельского университета в Швейцарии и лаборатории Университета штата Айова в городе Эймс сумели получить высококачественные изображения поверхности квазикристаллов из сплава алюминия, меди и железа и алюминия, палладия и марганца. На изображениях видны плоские «террасы» (рис. 110), которые спускаются либо высокими, либо низкими ступеньками (конечно, и те, и те измеряются стомиллионными долями дюйма). Так вот, оказалось, что отношение этих высот равно золотому сечению!
Квазикристаллы – великолепный пример того, как какая-то концепция начиналась в сфере чистой математики (была основана на золотом сечении), а потом оказалось, что она объясняет самый что ни на есть реальный природный феномен. Но самое поразительное даже не это, а то, что – в данном конкретном случае – начало концепции было положено в сфере занимательной математики. Как математикам удалось «предвосхитить» грядущие открытия физиков? Этот вопрос становится еще более интересным, если вспомнить, что пятисторонней симметрией интересовались еще Дюрер и Кеплер в XVI и XVII веке. Так, может быть, даже самые отвлеченные математические темы когда-нибудь найдут воплощение в объяснении природных явлений или в творениях рук человеческих? К этому вопросу мы вернемся в главе 9.
Еще одна удивительная деталь в истории с квазикристаллами – это личности двух теоретиков, которые их исследовали. И Пенроуз, и Стейнхард по большей части занимались космологией, изучали Вселенную в целом. Пенроуз – это тот самый ученый, который обнаружил, что общая теория относительности Эйнштейна предсказывает свои собственные особые точки, где сила тяжести становится бесконечной. Эти математические сингулярности соответствуют космическим объектам, которые мы называем черными дырами – объектам столь огромной массы, что она сжимается до неимоверной плотности и ее гравитации становится достаточно, чтобы не выпускать из черной дыры ни свет, ни массу, ни энергию. В последние четверть века наблюдения показали, что черные дыры – отнюдь не воображаемая теоретическая концепция, а самые что ни на есть реальные космические объекты. Недавние наблюдения двух крупных космических обсерваторий – космического телескопа им. Хаббла и рентгеновской обсерватории «Чандра» – показали, что черные дыры даже не так уж редки. Более того, в центре большинства галактик таятся исполинские черные дыры с массой от нескольких миллионов до нескольких миллиардов масс нашего Солнца. Наличие черных дыр определяется по гравитационному воздействию, которое они оказывают на звезды и газ, расположенные по соседству. Согласно общепринятой теории Большого Взрыва, которая описывает происхождение всей нашей Вселенной, мироздание в целом начало расширяться именно с такой сингулярности – с состояния необычайно высокой плотности и температуры. Пол Стейнхардт был одним из главных действующих лиц при разработке так называемой инфляционной модели Вселенной. Согласно этой модели, которую первым предложил физик Алан Харви Гут из Массачусетского технологического института, когда возраст Вселенной составлял всего крошечную долю секунды (если точно, то 0,000…1 с, где 1 стоит на 35 месте после запятой), она претерпела фантастически стремительное расширение, увеличившись в размере более чем в 1030 раз (это единица с 30 нулями) за долю секунды. Эта модель объясняет несколько свойств нашей Вселенной, которые иначе объяснить было бы затруднительно, например, тот факт, что она практически одинаково выглядит, куда ни посмотри, то есть исключительно изотропна.
В 2001 году Стейнхардт и его коллеги предложили новую версию зарождения Вселенной; эта модель получила название «экпиротический сценарий», от греческого слова, которое означает «внезапная вспышка пламени». Согласно этой модели, которая на сегодняшний день остается во многом спекулятивной, Большой Взрыв произошел, когда столкнулись две трехмерные Вселенные, двигавшиеся по какому-то другому, скрытому измерению.
